Задание 16 ЕГЭ по математике (профиль): экономическая задача

Задание 16 профильного ЕГЭ по математике — это экономическая задача на проценты: кредиты, вклады или задачи на оптимизацию прибыли. Это первое задание части 2, и оно даёт до 2 первичных балла при полном решении. Ключ к успеху — умение составить таблицу изменения долга или вклада по годам, свести задачу к уравнению и решить его. Тренироваться на реальных задачах можно в тренажёре задания 16 ЕГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой и разбором.

Что проверяет задание 16

Задание проверяет умение применять математику к реальным финансовым ситуациям. Вам нужно: понять схему начисления процентов или погашения долга, составить уравнение и найти неизвестную ставку или сумму.

Что нужно уметь:

понимать схему дифференцированных и аннуитетных платежей по кредиту;
строить таблицу остатка долга / накопленного вклада по годам;
вводить множитель роста $k = 1 + \frac{r}{100}$ и составлять уравнение;
решать квадратные уравнения, в том числе подбором;
задачи на оптимизацию: находить максимум прибыли / минимум выплат методом исследования функции.

Параметр	Значение
Максимальный балл	2 первичных (1 — за верный ответ без полного обоснования, 2 — за полное решение)
Уровень	Повышенный
Часть	2 (развёрнутый ответ)
Формат	Полное решение
Раздел	Экономическая задача (проценты)
Время	15–25 минут
Связанные задания	—

Тренируйтесь на реальных задачах

Задания 16 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с пошаговым разбором. Решаем кредитные и вкладные задачи онлайн — бесплатно.

Решать задание 16

Как выглядит формулировка

ФИПИ предлагает три основных типа задач в задании 16:

Кредит (найти ставку): «В июле 2026 года планируется взять кредит на сумму 250 000 рублей… Найдите $r$ , если кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год выплачено 150 000 рублей, а во второй — 180 000 рублей.»
Вклад (найти итоговую сумму): «Иванов открыл вклад на 3 года под $r\%$ годовых с капитализацией. Найдите сумму на счёте в конце третьего года.»
Оптимизация (минимум / максимум): «Предприниматель может продать $n$ единиц товара по цене $p(n)$ . При каком $n$ прибыль максимальна?»

Теория: что нужно знать

1. Проценты и множитель роста

Если долг или сумма вклада $S$ увеличивается на $r\%$ в год, то через год она становится:

S \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right) = S \cdot k

Здесь $k = 1 + \frac{r}{100}$ — это множитель роста (или повышающий коэффициент). Через $n$ лет без выплат сумма вырастет до:

S_n = S_0 \cdot k^n

Всегда вводите $k$ в самом начале решения — это упрощает запись и уменьшает риск ошибки.

2. Кредиты: схема погашения

В задании 16 чаще всего встречаются два режима погашения:

Разные платежи — в каждый период выплачивают заранее известную сумму (например, 150 000 в первый год, 180 000 во второй). Остаток долга убывает неравномерно.
Равные платежи (аннуитет) — в каждый период выплачивают одну и ту же сумму $x$ . Величина $x$ неизвестна и выражается через $k$ и $S$ .

В обоих случаях схема одна: сначала долг умножается на $k$ (начисляются проценты), затем из него вычитается платёж. Базовая формула для остатка долга после очередного платежа:

S_{\text{после}} = S_{\text{до}} \cdot k - \text{платёж}

Удобнее всего отражать это в таблице по годам (год — долг с процентами — платёж — остаток). Пример для кредита $S$ на 2 года с разными платежами $p_1$ и $p_2$ :

Год	Долг с процентами	Платёж	Остаток долга
1-й	$Sk$	$p_1$	$Sk - p_1$
2-й	$(Sk - p_1)k$	$p_2$	$0$

Условие «кредит погашен» означает, что остаток в последней строке равен нулю: $(Sk - p_1)k - p_2 = 0$ . Это и есть уравнение для нахождения $k$ , а значит, $r$ .

3. Вклады: капитализация процентов

Для вкладов схема зеркальная: каждый год сумма умножается на $k$ , а иногда к ней ещё добавляется пополнение. При простой капитализации:

S_n = S_0 \cdot k^n = S_0 \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n

Если вкладчик ежегодно пополняет счёт на сумму $a$ , то каждый взнос успевает отработать разное количество лет. Итоговая сумма — это сумма геометрической прогрессии:

S_n = a \cdot k + a \cdot k^2 + \ldots + a \cdot k^n = a \cdot k \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}

В задачах с вкладами чаще просят найти итоговую сумму или процентную ставку, при которой сумма достигает заданного значения.

4. Задачи на оптимизацию

Иногда задание 16 звучит как «найдите максимальную прибыль» или «при каком объёме производства затраты минимальны». Алгоритм:

Составьте выражение для целевой функции (прибыль, затраты, сумма выплат) через одну переменную.
Найдите производную и приравняйте её нулю: $f'(x) = 0$ .
Проверьте знак производной слева и справа от найденной точки, чтобы убедиться, что это именно максимум (или минимум).
Если переменная принимает только целые значения — проверьте ближайшие целые числа.

Алгоритм решения задания 16

Введите обозначения. Определите начальную сумму $S$ , ставку $r\%$ и множитель $k = 1 + \frac{r}{100}$ . Если платежи равны — обозначьте их через $x$ .
Составьте таблицу по периодам. Для каждого года запишите: долг с процентами — платёж — остаток долга. Это главный инструмент: таблица делает задачу наглядной и не даёт запутаться в порядке операций.
Составьте уравнение из условия «долг = 0». Остаток долга в последней строке таблицы приравняйте нулю. Или используйте условие на суммарные выплаты — смотря что дано.
Решите уравнение. Как правило, получается квадратное уравнение относительно $k$ . Найдите его корни, отбросьте отрицательный ( $k > 1$ по смыслу задачи).
Найдите $r$ . Из $k = 1 + \frac{r}{100}$ получите $r = (k - 1) \cdot 100$ .
Проверьте. Подставьте найденное $r$ обратно в таблицу и убедитесь, что остаток долга действительно равен нулю, а суммарные выплаты совпадают с условием.

Застряли на таблице долга?

Решите 5–10 задач 16 подряд на тренажёре — схема «долг с процентами → платёж → остаток» войдёт в автоматизм. Repet.ai сразу покажет правильный ответ и разбор.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Кредит на 2 года с разными платежами (ID 81128, ФИПИ)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250 000 рублей. Условия возврата таковы: каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите $r$ , если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 150 000 рублей, а во второй год — 180 000 рублей.

Решение:

Обозначим $S = 250$ (тыс. руб.) — первоначальный долг, а $k = 1 + \frac{r}{100}$ — множитель роста. Составим таблицу изменения долга:

Год	Долг с процентами	Выплата	Остаток долга
2027	$250k$	150	$250k - 150$
2028	$(250k - 150)k$	180	$0$

Условие полного погашения в 2028 году: $(250k - 150) \cdot k - 180 = 0$ . Раскроем скобки:

250k^2 - 150k - 180 = 0

Разделим все члены на 10:

25k^2 - 15k - 18 = 0

Вычислим дискриминант: $D = 15^2 + 4 \cdot 25 \cdot 18 = 225 + 1800 = 2025 = 45^2$ . Корни уравнения:

k = \frac{15 \pm 45}{50} \implies \begin{cases} k_1 = \frac{60}{50} = 1{,}2 \\ k_2 = \frac{-30}{50} = -0{,}6 \end{cases}

Так как $k > 1$ по смыслу задачи (долг растёт), подходит только $k = 1{,}2$ . Находим ставку:

1 + \frac{r}{100} = 1{,}2 \implies r = 20

Проверка: долг после 2027 года: $250 \cdot 1{,}2 - 150 = 300 - 150 = 150$ . Долг в 2028 с процентами: $150 \cdot 1{,}2 = 180$ . Выплата 180 000 — остаток 0. Верно.

Ответ: 20.

Пример 2. Кредит на 5 лет с равными платежами в последние 2 года (ID 81127, ФИПИ)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

В июне 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия возврата: каждый январь долг возрастает на $r\%$ ; в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 4,2 млн рублей; выплаты в 2030 и 2031 годах равны; к июлю 2031 года долг выплачен полностью. Найдите $r$ , если общая сумма выплат равна 6,1 млн рублей.

Решение:

Обозначим $S = 4{,}2$ млн руб., $k = 1 + \frac{r}{100}$ , одинаковый платёж в 2030 и 2031 годах — через $x$ . В первые три года заёмщик выплачивает только начисленные проценты, то есть $S(k-1)$ , и долг возвращается к $S$ . Составим таблицу:

Год	Долг с процентами	Платёж	Остаток долга
2027	$Sk$	$S(k-1)$	$S$
2028	$Sk$	$S(k-1)$	$S$
2029	$Sk$	$S(k-1)$	$S$
2030	$Sk$	$x$	$Sk - x$
2031	$(Sk-x)k$	$x$	$0$

Из последней строки таблицы (долг = 0 после 2031 года):

(Sk - x)k - x = 0 \implies Sk^2 - x(k+1) = 0 \implies x = \frac{Sk^2}{k+1}

Суммарные выплаты за 5 лет: три процентных платежа плюс два аннуитетных:

3 \cdot S(k-1) + 2x = 6{,}1

Подставим $x = \frac{Sk^2}{k+1}$ и $S = 4{,}2$ :

3 \cdot 4{,}2(k-1) + \frac{2 \cdot 4{,}2 \cdot k^2}{k+1} = 6{,}1

12{,}6(k-1) + \frac{8{,}4k^2}{k+1} = 6{,}1

Умножим обе части на $(k+1)$ :

12{,}6(k^2-1) + 8{,}4k^2 = 6{,}1(k+1)

21k^2 - 6{,}1k - 18{,}7 = 0

Умножим на 10:

210k^2 - 61k - 187 = 0

Дискриминант: $D = 61^2 + 4 \cdot 210 \cdot 187 = 3721 + 157080 = 160801 = 401^2$ . Корни:

k = \frac{61 \pm 401}{420} \implies k_1 = \frac{462}{420} = 1{,}1, \quad k_2 = \frac{-340}{420} < 0

Подходит $k = 1{,}1$ , откуда:

1 + \frac{r}{100} = 1{,}1 \implies r = 10

Ответ: 10.

Типичные ошибки и ловушки

Перепутать порядок: сначала проценты, потом платёж

По условию большинства задач ФИПИ: сначала в январе долг умножается на $k$ (начисляются проценты), и лишь затем с февраля по июнь производится выплата. Если поменять порядок, формула изменится и ответ будет неверным. Всегда читайте условие внимательно.

Ошибка в множителе: $1 + r$ вместо $1 + \frac{r}{100}$

Если ставка $r$ задана в процентах (а не в долях), то множитель роста: $k = 1 + \frac{r}{100}$ , а не $1 + r$ . Ошибка приводит к уравнению, у которого нет разумного корня.

Не отбрасывать отрицательный корень

Квадратное уравнение относительно $k$ , как правило, даёт два корня — один положительный (больше 1), один отрицательный. Отрицательный корень не имеет смысла: процентная ставка не может быть отрицательной. Всегда пишите в решении: «так как $k > 1$ , подходит только…».

Путать дифференцированный и аннуитетный платёж

Дифференцированный платёж убывает со временем (сумма основного долга постоянна, а проценты начисляются на убывающий остаток). Аннуитетный — одинаков каждый период. В задании 16 чаще встречается аннуитет или заранее заданные (неравные) выплаты. Не подставляйте одну схему вместо другой.

Арифметические ошибки при раскрытии скобок

Выражения вида $(Sk - p_1) \cdot k - p_2 = 0$ легко «съедают» знак. Расписывайте каждый шаг явно: раскройте скобки, соберите подобные слагаемые, перенесите все в одну сторону. После получения коэффициентов уравнения обязательно подставьте числа обратно и убедитесь, что они верны.

Проверьте себя на реальных задачах

На Repet.ai собраны задания 16 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

До 2 первичных баллов. Если решение верное, но недостаточно обосновано — можно получить 1 балл. Полные 2 балла ставятся за полное и правильно оформленное решение с обоснованием отбора корней.

Формально нет — таблица не требуется по критериям. Но на практике таблица «год — долг с процентами — платёж — остаток» — это самый надёжный способ не запутаться в порядке действий. Большинство опытных учителей рекомендуют именно её.

Составьте таблицу по годам, запишите выражение для каждого платежа через k, а потом сложите все платежи и приравняйте заданной сумме. Это тот же подход, что и в примере 2: сначала выразить платёж x через k из условия «остаток = 0», потом подставить в уравнение на суммарные выплаты.

Квадратное уравнение относительно k. В простых задачах (кредит на 2 года) оно получается напрямую. В более сложных (5 лет, аннуитет) — после алгебраических преобразований тоже приходите к квадратному. Иногда можно угадать k целым числом или простой дробью (1,1; 1,2; 1,3).

Подставьте найденное r обратно в таблицу: пересчитайте долг с процентами и остаток для каждого года. Остаток в последней строке должен быть ровно 0, а сумма всех платежей должна совпадать с условием (если оно задано). Это занимает 1–2 минуты и гарантирует полные 2 балла.

При дифференцированном погашении тело долга убывает равными долями каждый период, а проценты начисляются на убывающий остаток — поэтому платежи уменьшаются со временем. При аннуитетном каждый платёж одинаков: он включает и часть долга, и проценты в разных пропорциях. В ЕГЭ чаще встречается аннуитет или заранее заданные конкретные суммы.

15–25 минут. Это первое задание части 2 — оно обычно проще задания 17, 18, 19. Если схема понятна и таблица составлена правильно, уравнение решается за 5–7 минут. Не застревайте дольше 25 минут: переходите к следующим заданиям и вернитесь, если останется время.

Связанные темы

Умение работать с процентами и составлять уравнения пригодится и в других заданиях варианта:

Задание 15: текстовые задачи Задание 17: планиметрия

План подготовки к заданию 16

Неделя 1 — схема и таблица

Разберите теорию про множитель роста, кредиты и вклады. Решайте простые задачи на 2 года: каждый раз составляйте полную таблицу по годам и записывайте уравнение явно. Цель — довести составление таблицы до автоматизма, чтобы не тратить время на экзамене.

Неделя 2 — сложные задачи и оформление

Переходите к задачам на 4–5 лет с аннуитетными платежами. Следите за оформлением: полный балл требует обоснования отбора корней и проверки. Прорешайте 15–20 задач из банка ФИПИ, разбирайте каждую ошибку и следите за временем — задание должно занимать не более 20 минут.

Готовы освоить экономические задачи?

Задание 16 — одно из немногих в ЕГЭ, которое напрямую связано с реальной жизнью: кредиты и вклады касаются каждого. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и за пару недель доведёте навык до уверенного решения.

Тренировать задание 16 Задание 15: текстовые задачи Все задания ЕГЭ по математике