Задание 15 ЕГЭ по математике (профиль): неравенства

Задание 15 профильного ЕГЭ по математике — это неравенства: логарифмические, показательные или их комбинации. Нужно найти множество всех решений и записать его в виде промежутка или объединения промежутков. За полное верное решение дают 2 первичных балла: 1 балл за правильный подход и 1 балл за верный окончательный ответ с учётом ОДЗ. В статье — вся теория, четыре ключевых метода, пошаговый алгоритм и два полных разбора реальных заданий ФИПИ. Тренироваться можно на реальных заданиях 15 ЕГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 15

Задание проверяет умение решать нестандартные неравенства, требующие нескольких шагов преобразований. Это одно из немногих заданий части 2, где важно не только получить ответ, но и правильно оформить каждый шаг: ОДЗ, замену, метод интервалов и обратную подстановку. Темы, которые встречаются чаще всего:

Что нужно уметь:

находить ОДЗ логарифмических неравенств (аргумент больше нуля, основание больше нуля и не равно единице);
применять свойства логарифмов: логарифм произведения, частного, степени;
вводить замену переменной и сводить неравенство к рациональному или квадратному;
решать рациональные неравенства методом интервалов;
учитывать направление неравенства при потенцировании (основание больше 1 или меньше 1);
пересекать найденное множество с ОДЗ и записывать ответ корректно.

Параметр	Значение
Максимальный балл	2 первичных
Уровень	Повышенный
Часть	2 (развёрнутый ответ)
Формат	Полное решение, множество значений
Раздел	Неравенства
Время	15–20 минут
Связанные задания	13

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 15 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с полными решениями и мгновенной проверкой. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 15

Как выглядит формулировка

ФИПИ всегда пишет «Решите неравенство», и задаёт выражение с логарифмами или показательными функциями. Ответ — это множество, записанное в виде промежутка или объединения промежутков. Примеры формулировок:

«Решите неравенство $\log_{x+1}(x^2 - 5x + 7) \leq \log_{x+1} x$ ».
«Решите неравенство $\dfrac{9}{\log_3 x} - \log_3\!\left(\dfrac{9}{x}\right) \leq \dfrac{34}{\log_3 x^2}$ ».
«Решите неравенство $(\log_{36} x + 1)\!\left(\dfrac{1}{\log_{36} x} + 1\right) \leq \log_{36} x$ ».

Теория: четыре ключевых метода

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Прежде чем решать неравенство, обязательно находим ОДЗ. Для логарифма $\log_a f(x)$ нужно выполнение трёх условий одновременно:

аргумент строго положителен: $f(x) > 0$ ;
основание строго положительно: $a > 0$ ;
основание не равно единице: $a \neq 1$ .

Если основание само зависит от переменной (например, $\log_{x+1}(\ldots)$ ), ОДЗ надо составить как систему неравенств. При этом условие $x^2 > 0$ выполнено при всех $x \neq 0$ , а квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом всегда положителен.

Без ОДЗ — минус 1 балл из 2 даже при верном ответе!

2. Метод интервалов

После замены переменной неравенство часто сводится к рациональному виду $\dfrac{P(t)}{Q(t)} \leq 0$ или $\dfrac{P(t)}{Q(t)} \geq 0$ . Алгоритм метода интервалов:

Разложить числитель и знаменатель на линейные множители: $\dfrac{(t - a)(t - b)}{t - c} \leq 0$ .
Отметить нули числителя (включаются в ответ, если знак $\leq$ или $\geq$ ) и нули знаменателя (никогда не включаются) на числовой прямой.
Определить знак выражения на каждом интервале, чередуя «плюс» и «минус» (начиная с $+\infty$ ).
Выписать интервалы нужного знака.

Ключевой момент: если кратность корня чётная — знак при переходе через него не меняется.

3. Рационализация: учёт основания логарифма

При переходе от неравенства между логарифмами к неравенству между аргументами направление знака зависит от основания:

Если основание $a > 1$ : $\log_a f(x) \leq \log_a g(x)$ равносильно $f(x) \leq g(x)$ (знак сохраняется).
Если основание $0 < a < 1$ : $\log_a f(x) \leq \log_a g(x)$ равносильно $f(x) \geq g(x)$ (знак переворачивается!).

Для показательных неравенств то же правило: $a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ при $a > 1$ эквивалентно $f(x) \leq g(x)$ , при $0 < a < 1$ знак переворачивается.

Полезная формула для преобразований: $\log_a \dfrac{f}{g} = \log_a f - \log_a g$ и $\log_a f^n = n \log_a f$ .

4. Замена переменной

Если в неравенстве встречается одно и то же логарифмическое выражение в нескольких местах, вводим замену. Например, если повторяется $\log_3 x$ , пишем $t = \log_3 x$ . После замены неравенство должно стать алгебраическим (рациональным или квадратным).

После нахождения решения для $t$ выполняем обратную подстановку. Например, $t \leq -2$ превращается в $\log_3 x \leq -2$ , откуда при основании $3 > 1$ получаем $x \leq 3^{-2} = \tfrac{1}{9}$ .

Важно: после обратной подстановки обязательно пересекайте полученное множество с ОДЗ.

Алгоритм решения задания 15

Найдите ОДЗ. Запишите систему условий: аргументы всех логарифмов строго положительны, основание строго положительно и не равно единице. Решите систему и выпишите ОДЗ явно.
Преобразуйте неравенство. Применяйте свойства логарифмов (логарифм частного, степень), чтобы упростить выражение. Цель — собрать одинаковые «блоки» для замены.
Введите замену переменной (если нужно). Обозначьте повторяющийся логарифм буквой $t$ и перепишите неравенство в новых переменных.
Решите полученное неравенство методом интервалов. Перенесите всё в одну часть, разложите на множители, отметьте нули на прямой, определите знаки на интервалах.
Сделайте обратную подстановку. Перейдите от условий на $t$ к условиям на $x$ , учитывая направление знака при потенцировании.
Пересеките с ОДЗ. Итоговый ответ — это пересечение найденного множества с ОДЗ. Запишите его в виде промежутка или объединения промежутков.

Хотите закрепить теорию практикой?

Прорешайте 5–10 заданий 15 подряд — методы замены и интервалов быстро встанут «на автомат». На Repet.ai к каждому заданию есть пошаговое решение.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Логарифм с переменным основанием (ID 81123)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Решите неравенство $\log_{x+1}(x^2 - 5x + 7) \leq \log_{x+1} x$ .

Решение:

Шаг 1. ОДЗ. У обоих логарифмов одно основание $x + 1$ , поэтому составляем систему:

\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 1 \neq 1 \\ x^2 - 5x + 7 > 0 \\ x > 0 \end{cases}

Первое условие даёт $x > -1$ , второе — $x \neq 0$ . Квадратный трёхчлен $x^2 - 5x + 7$ имеет дискриминант $D = 25 - 28 = -3 < 0$ и старший коэффициент положительный, значит он положителен при всех $x$ . Последнее условие: $x > 0$ .

Пересекая всё, получаем ОДЗ: $x > 0$ .

Шаг 2. Учёт основания. При $x > 0$ имеем основание $x + 1 > 1$ , значит логарифмическая функция возрастает и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

x^2 - 5x + 7 \leq x

Шаг 3. Квадратное неравенство. Переносим всё в левую часть:

x^2 - 6x + 7 \leq 0

Находим корни уравнения $x^2 - 6x + 7 = 0$ :

D = 36 - 28 = 8, \quad x = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad x_1 = 3 - \sqrt{2},\quad x_2 = 3 + \sqrt{2}

Парабола ветвями вверх, поэтому трёхчлен неположителен на отрезке между корнями:

x \in \bigl[3 - \sqrt{2};\; 3 + \sqrt{2}\bigr]

Шаг 4. Пересечение с ОДЗ. Так как $3 - \sqrt{2} \approx 1{,}59 > 0$ , весь отрезок лежит в ОДЗ.

Ответ: $x \in \bigl[3 - \sqrt{2};\; 3 + \sqrt{2}\bigr]$

Пример 2. Замена переменной и метод интервалов (ID 81124)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Решите неравенство $\dfrac{9}{\log_3 x} - \log_3\!\left(\dfrac{9}{x}\right) \leq \dfrac{34}{\log_3 x^2}$ .

Решение:

Шаг 1. ОДЗ. Знаменатели не равны нулю, аргументы логарифмов положительны:

\begin{cases} x > 0 \\ \log_3 x \neq 0 \\ \log_3 x^2 \neq 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x \in (0;\,1) \cup (1;\,{+\infty})

Шаг 2. Преобразование. Раскрываем $\log_3\!\left(\tfrac{9}{x}\right) = \log_3 9 - \log_3 x = 2 - \log_3 x$ и $\log_3 x^2 = 2\log_3 x$ , подставляем:

\frac{9}{\log_3 x} - (2 - \log_3 x) \leq \frac{34}{2\log_3 x} = \frac{17}{\log_3 x}

Шаг 3. Замена. Пусть $t = \log_3 x$ (при этом $t \neq 0$ из ОДЗ). Неравенство принимает вид:

\frac{9}{t} - 2 + t \leq \frac{17}{t}

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю:

\frac{9 - 2t + t^2 - 17}{t} \leq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{t^2 - 2t - 8}{t} \leq 0

Числитель раскладывается на множители:

\frac{(t + 2)(t - 4)}{t} \leq 0

Шаг 4. Метод интервалов. Нули: $t = -2$ (включается), $t = 0$ (не включается — знаменатель), $t = 4$ (включается). Расставляем знаки:

\underbrace{-\infty}_{+} \quad -2 \quad \underbrace{}_{-} \quad 0 \quad \underbrace{}_{+} \quad 4 \quad \underbrace{+\infty}_{+}

Нас интересует выражение $\leq 0$ (минус или нуль), поэтому берём:

t \in (-\infty;\,-2\,] \cup (0;\,4\,]

Шаг 5. Обратная замена. Основание $3 > 1$ , функция $\log_3 x$ возрастает, знаки при потенцировании сохраняются:

\left[\begin{array}{l} \log_3 x \leq -2 \\[4pt] 0 < \log_3 x \leq 4 \end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad \left[\begin{array}{l} x \leq 3^{-2} = \tfrac{1}{9} \\[4pt] 1 < x \leq 3^4 = 81 \end{array}\right.

Шаг 6. Пересечение с ОДЗ $(x > 0,\; x \neq 1)$ : первый промежуток $x \leq \tfrac{1}{9}$ пересекаем с $x > 0$ и получаем $(0;\,\tfrac{1}{9}]$ ; второй $1 < x \leq 81$ уже не содержит $x = 1$ .

Ответ: $x \in \Bigl(0;\,\dfrac{1}{9}\Bigr] \cup (1;\,81\,]$

Типичные ошибки и ловушки

Забыли найти ОДЗ

Самая частая причина потери балла. Даже если множество решений найдено верно, без ОДЗ теряется 1 из 2 баллов. Всегда начинайте с явного указания ОДЗ на листе.

Не перевернули знак при основании меньше 1

Если основание логарифма удовлетворяет $0 < a < 1$ , то при переходе к неравенству между аргументами знак меняется на противоположный. Например, $\log_{1/2} f \leq \log_{1/2} g$ равносильно $f \geq g$ .

Делили на выражение неизвестного знака

При умножении или делении обеих частей неравенства на выражение, которое может быть и положительным, и отрицательным, нужно разбирать два случая. Безопаснее всегда переносить всё в одну сторону и применять метод интервалов.

Включили ноль знаменателя в ответ

В методе интервалов нули знаменателя всегда исключаются из ответа (круглая скобка), даже если вы решаете нестрогое неравенство $\leq 0$ или $\geq 0$ .

Потеряли часть ответа при пересечении с ОДЗ

Иногда одна из ветвей объединения промежутков полностью выпадает после пересечения с ОДЗ. Проверяйте каждую ветвь отдельно. Ошибка особенно коварна, когда ОДЗ сужает промежуток лишь частично: например, из $(0;\,\tfrac{1}{9}]$ надо исключить только нулевую точку — и всё, что осталось, уже входит в ответ.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 15 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте пошаговое решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

2 первичных балла. 1 балл дают за правильный метод решения с корректно найденной ОДЗ и промежуточными шагами, ещё 1 балл — за верный окончательный ответ с пересечением с ОДЗ. Если ОДЗ не указана, максимум можно получить лишь 1 балл.

Нужно составить систему: каждый аргумент логарифма строго больше нуля, каждое основание строго больше нуля и не равно единице. Если основание — это выражение с переменной (например, x + 1), его тоже включаем в систему. После решения системы записываем ОДЗ явно — это необходимый шаг для получения полного балла.

Замену вводят, когда одно и то же логарифмическое выражение повторяется несколько раз. Например, если в неравенстве встречается log₃ x в нескольких дробях, удобно положить t = log₃ x. После этого неравенство превращается в рациональное или квадратное, которое легко решается методом интервалов.

В таком случае нельзя сразу сказать, возрастает или убывает логарифмическая функция — это зависит от того, больше или меньше единицы основание для данного x. Нужно либо указать в ОДЗ, что основание больше единицы (или меньше), либо разбить задачу на два случая. Часто ОДЗ сразу ограничивает x так, что основание оказывается только больше 1.

Потому что в нуле знаменателя дробное выражение не определено (деление на ноль). Независимо от типа знака неравенства (нестрогое ≤ или строгое <), точки, в которых знаменатель обращается в ноль, всегда исключаются из области решений.

Ответ записывается в виде промежутка или объединения промежутков с помощью круглых и квадратных скобок: круглая означает, что точка не включается, квадратная — включается. Например: x ∈ (0; 1/9] ∪ (1; 81]. Бесконечности всегда берутся в круглых скобках.

Задание 13 — это более простое неравенство части 1 (1 балл, краткий ответ). Оба задания проверяют работу с логарифмами и показательными функциями, но в задании 15 требуется полное оформление: ОДЗ, замена, метод интервалов. Отработав задание 13 «на автоматизм», вы упростите себе задание 15.

Готовы прокачать задание 15?

Неравенства — это один из самых «дорогих» навыков ЕГЭ: 2 балла за одно задание. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с полными пошаговыми решениями. Решайте, разбирайте, повторяйте — и задание 15 перестанет быть страшным.

Тренировать задание 15 Задание 13: неравенства (часть 1)Все задания ЕГЭ по математике