Задание 13 ЕГЭ по математике (профиль): тригонометрические уравнения

Задание 13 профильного ЕГЭ по математике — это тригонометрические уравнения с полным развёрнутым решением. Задание состоит из двух пунктов: в пункте а) нужно решить уравнение и записать все корни, в пункте б) — отобрать из найденных корней только те, что попадают на заданный отрезок числовой оси. За каждый пункт начисляется по 1 первичному баллу. В статье — все нужные формулы, четыре основных метода решения, пошаговый алгоритм, два разбора реальных заданий из банка ФИПИ и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 13 ЕГЭ онлайн с мгновенной проверкой ответа.

Что проверяет задание 13

Задание проверяет умение решать нестандартные тригонометрические уравнения: нужно не просто применить шаблонную формулу, а выбрать правильный метод (разложение на множители, замена переменной, однородное уравнение и т. п.), найти все серии корней и корректно отобрать нужные.

Что нужно уметь:

записывать общие решения уравнений $\sin x = a$ , $\cos x = a$ , $\tan x = a$ ;
разлагать тригонометрическое выражение на множители;
применять замену переменной для квадратных уравнений относительно $\sin x$ или $\cos x$ ;
использовать формулы двойного угла, понижения степени, приведения;
решать однородные тригонометрические уравнения (делением на $\cos^n x$ );
отбирать корни, принадлежащие заданному отрезку, с помощью тригонометрической окружности или двойного неравенства.

Параметр	Значение
Максимальный балл	2 первичных (1 + 1)
Уровень	Повышенный
Часть	2 (развёрнутый ответ)
Формат ответа	Полное решение, пункты а) и б)
Раздел	Уравнения
Рекомендуемое время	15–20 минут
Связанные задания	12

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 13 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с пошаговым разбором. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 13

Как выглядит формулировка

Задание всегда состоит из двух пунктов. Типичная формулировка:

а) Решите уравнение $2\cos^3 x - 2\cos x + \sin^2 x = 0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\, 3\pi\right]$ .

Уравнение в пункте а) нестандартное — его нельзя решить одной шаблонной формулой. Нужно сначала преобразовать выражение (применить тождество, сгруппировать, разложить на множители), затем решить каждый из получившихся множителей. Пункт б) проверяет умение аккуратно отобрать корни.

Формулы корней базовых уравнений

Любое тригонометрическое уравнение в итоге сводится к одному из трёх простейших. Их формулы нужно знать наизусть.

Уравнение $\sin x = a$

Если $|a| \le 1$ , решение существует и записывается в виде двух серий:

x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Для табличных значений удобнее явная запись:

$\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$ или $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi n$
$\sin x = 0$ : $x = \pi n$
$\sin x = \pm 1$ : $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$ (для $+1$ ) или $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$ (для $-1$ )

Уравнение $\cos x = a$

Если $|a| \le 1$ , решения:

x = \pm \arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Табличные частные случаи:

$\cos x = \dfrac{1}{2}$ : $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$
$\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : $x = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$
$\cos x = 0$ : $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$
$\cos x = \pm 1$ : $x = 2\pi n$ или $x = \pi + 2\pi n$ , то есть $x = \pi n$

Уравнение $\tan x = a$

Единственная серия корней:

x = \arctan a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Табличные значения:

$\tan x = 1$ : $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n$
$\tan x = \sqrt{3}$ : $x = \dfrac{\pi}{3} + \pi n$
$\tan x = 0$ : $x = \pi n$

ОДЗ: $\cos x \ne 0$ , то есть $x \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi n$ .

Основные методы решения

В задании 13 уравнение редко решается напрямую — почти всегда нужно предварительное преобразование. Разберём четыре главных метода.

Метод 1. Разложение на множители

Идея: преобразовать уравнение так, чтобы в левой части стояло произведение двух выражений, а в правой — ноль. Тогда каждый множитель приравнивается к нулю отдельно.

Пример. Уравнение $\sin x \cos x = \sin x$ . Переносим всё в одну часть:

\sin x \cos x - \sin x = 0 \implies \sin x(\cos x - 1) = 0

Отсюда: $\sin x = 0$ или $\cos x = 1$ . Каждое решается по формуле выше.

Метод 2. Замена переменной (квадратное уравнение)

Если уравнение содержит только чётные степени $\sin x$ или $\cos x$ , вводят замену $t = \sin x$ (или $t = \cos x$ ), решают квадратное уравнение относительно $t$ и делают обратную замену. Обязательно проверяют, что $|t| \le 1$ .

Часто используется основное тригонометрическое тождество:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

чтобы выразить одну функцию через другую перед заменой.

Метод 3. Однородные уравнения

Однородное уравнение второй степени имеет вид:

a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = 0

Если $\cos x \ne 0$ , делим обе части на $\cos^2 x$ и получаем квадратное уравнение относительно $\tan x$ :

a\tan^2 x + b\tan x + c = 0

Не забудьте проверить отдельно случай $\cos x = 0$ — он может давать или не давать корни исходного уравнения.

Метод 4. Формулы двойного угла и приведения

Наиболее часто используемые формулы для упрощения уравнений:

\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = \cos^2 x - \sin^2 x

\sin 2x = 2\sin x \cos x

Формулы приведения (примеры):

\cos(\pi - x) = -\cos x, \quad \sin\!\left(x - \tfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x

Применяйте эти формулы, чтобы привести уравнение к виду, удобному для разложения или замены переменной.

Отбор корней на отрезке (пункт б)

Пункт б) — самостоятельная часть задания, за которую дают отдельный балл. Даже если в пункте а) допущена ошибка, за правильный отбор из полученных серий можно получить балл.

Два способа отбора корней:

1. Двойное неравенство. Для каждой серии $x = f(n)$ составляем неравенство:

a \le f(n) \le b

и находим целые значения $n$ , при которых оно выполняется.

2. Тригонометрическая окружность. Отмечаем все точки с углами из найденных серий на единичной окружности и визуально определяем, какие из них попадают в нужную дугу.

На экзамене удобнее всего комбинировать оба метода: сначала нарисовать окружность для ориентира, затем подтвердить вычислением.

Алгоритм решения задания 13

Упростите уравнение. Применяйте формулы приведения (например, $\cos(\pi - 2x) = -\cos 2x$ ), формулы двойного угла или основное тригонометрическое тождество, чтобы выразить всё через одну функцию.
Перенесите всё в одну часть и запишите нулевую правую часть. Это подготовит уравнение к разложению.
Выберите метод. Разложение на множители, замена переменной или однородное уравнение — ориентируйтесь на структуру выражения. Если видите $\sin^2 x$ и нет $\sin x$ без степени, скорее всего, нужна замена; если общий множитель — разложение.
Решите каждый множитель. Запишите все серии корней с параметром $n \in \mathbb{Z}$ .
Пункт а) готов. Запишите ответ в виде перечня серий.
Для пункта б) составьте двойные неравенства для каждой серии и найдите конкретные значения корней на заданном отрезке. Обязательно проверьте границы — включены ли они.
Проверьте результат подстановкой хотя бы одного найденного корня в исходное уравнение.

Запутались в формулах?

Прорешайте 10–15 заданий 13 подряд — методы решения и формулы корней быстро лягут в память. На Repet.ai к каждому заданию есть разбор решения.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Разложение на множители через основное тождество

Условие (реальное задание из банка ФИПИ, ID 77327):

а) Решите уравнение $2\cos^3 x - 2\cos x + \sin^2 x = 0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\; 3\pi\right]$ .

Решение пункта а):

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$ :

2\cos^3 x - 2\cos x + 1 - \cos^2 x = 0

Перегруппируем слагаемые, чтобы вынести общий множитель:

2\cos x(\cos^2 x - 1) - (\cos^2 x - 1) = 0

Выносим скобку $(\cos^2 x - 1)$ за скобки:

(2\cos x - 1)(\cos^2 x - 1) = 0

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \dfrac{1}{2}$ , откуда:

x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}

2) $\cos^2 x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \pm 1$ , откуда:

x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}

Ответ а): $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \pi k$ , где $k \in \mathbb{Z}$ .

Решение пункта б):

Нужно найти все корни на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};\; 3\pi\right]$ . Обходим все три серии:

Серия 1: $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ .

При $k = 1$ : $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{3}$ . Проверяем: $\dfrac{3\pi}{2} \le \dfrac{7\pi}{3} \le 3\pi$ — выполняется.

Серия 2: $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ .

При $k = 1$ : $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}$ . Проверяем: $\dfrac{3\pi}{2} \le \dfrac{5\pi}{3} \le 3\pi$ — выполняется.

Серия 3: $x = \pi k$ .

При $k = 2$ : $x = 2\pi$ . Проверяем: $\dfrac{3\pi}{2} \le 2\pi \le 3\pi$ — выполняется.

При $k = 3$ : $x = 3\pi$ . Проверяем: $\dfrac{3\pi}{2} \le 3\pi \le 3\pi$ — выполняется (граница включена).

Ответ б): $\dfrac{5\pi}{3}$ ; $2\pi$ ; $\dfrac{7\pi}{3}$ ; $3\pi$ .

Пример 2. Формулы приведения и квадратное уравнение относительно sin x

Условие (реальное задание из банка ФИПИ, ID 80177):

а) Решите уравнение $2 + 2\cos(\pi - 2x) + \sqrt{8}\sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[3\pi;\; \dfrac{9\pi}{2}\right]$ .

Решение пункта а):

Применяем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ :

2 - 2\cos 2x + \sqrt{8}\sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x

Применяем формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ :

2 - 2(1 - 2\sin^2 x) + \sqrt{8}\sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x

4\sin^2 x + \sqrt{8}\sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x

Переносим все слагаемые в левую часть и упрощаем, учитывая $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ , $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ :

4\sin^2 x + (2\sqrt{2} - 2\sqrt{3})\sin x - \sqrt{6} = 0

Вводим замену $t = \sin x$ , где $|t| \le 1$ . Находим дискриминант:

D = (2\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2 + 16\sqrt{6} = 20 - 8\sqrt{6} + 16\sqrt{6} = 20 + 8\sqrt{6} = (2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2

Вычисляем корни:

t_1 = \frac{-(2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})}{8} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}

t_2 = \frac{-(2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) - (2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})}{8} = \frac{-4\sqrt{2}}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Оба значения удовлетворяют условию $|t| \le 1$ . Делаем обратную замену:

1) $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ :

x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

2) $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ :

x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Ответ а): $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$ ; $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$ ; $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$ ; $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi n$ , где $n \in \mathbb{Z}$ .

Решение пункта б):

Ищем корни на отрезке $\left[3\pi;\; \dfrac{9\pi}{2}\right]$ . Перебираем четыре серии:

Серия 1: $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$ . При $n = 2$ : $x = \dfrac{\pi}{3} + 4\pi = \dfrac{13\pi}{3}$ . Проверка: $3\pi \approx 9{,}42 \le \dfrac{13\pi}{3} \approx 13{,}61 \le \dfrac{9\pi}{2} \approx 14{,}14$ — выполняется.

Серия 2: $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$ . При $n = 1$ : $\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{8\pi}{3} \approx 8{,}38$ — меньше $3\pi \approx 9{,}42$ , не входит. При $n = 2$ : $\dfrac{2\pi}{3} + 4\pi = \dfrac{14\pi}{3} \approx 14{,}66$ — больше $\dfrac{9\pi}{2} \approx 14{,}14$ , не входит.

Серия 3: $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$ . При $n = 2$ : $x = -\dfrac{\pi}{4} + 4\pi = \dfrac{15\pi}{4}$ . Проверка: $3\pi \le \dfrac{15\pi}{4} \le \dfrac{9\pi}{2}$ — выполняется.

Серия 4: $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi n$ . При $n = 1$ : $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{13\pi}{4}$ . Проверка: $3\pi \le \dfrac{13\pi}{4} \le \dfrac{9\pi}{2}$ — выполняется.

Ответ б): $\dfrac{13\pi}{4}$ ; $\dfrac{15\pi}{4}$ ; $\dfrac{13\pi}{3}$ .

Типичные ошибки и ловушки

Делить обе части на тригонометрическую функцию

Если разделить уравнение на $\cos x$ или $\sin x$ , можно потерять корни — те, при которых делитель равен нулю. Всегда переносите всё в одну часть и выносите общий множитель за скобку.

Забыть вторую серию корней

Уравнения $\sin x = a$ и $\cos x = a$ (при $a \ne 0, \pm 1$ ) дают две серии корней. Частая ошибка — записать только одну. Например, для $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ нужны и $\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$ , и $\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$ .

Неверная запись периода: $+\pi n$ вместо $+2\pi n$

Для $\sin x = a$ и $\cos x = a$ период равен $2\pi$ , а не $\pi$ . Только для $\tan x = a$ период равен $\pi$ .

Ошибка при отборе корней: не учесть все серии

При отборе нужно перебрать каждую серию корней из пункта а) по отдельности. Часто ученики проверяют только одну-две серии, пропуская остальные.

Не проверить ОДЗ при замене переменной

После решения квадратного уравнения относительно $t = \sin x$ или $t = \cos x$ обязательно проверяйте, что $|t| \le 1$ . Если $|t| > 1$ , эта серия корней посторонняя и должна быть отброшена.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 13 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

2 первичных балла: по 1 баллу за каждый пункт (а и б). Пункт а) — решение уравнения с указанием всех серий корней, пункт б) — отбор корней, принадлежащих заданному отрезку. Можно получить 1 балл, даже если в пункте а) ошибка, но из найденных серий корни отобраны верно.

Обязательно: разложение на множители (перенести всё в одну часть и вынести общий множитель), замена переменной для квадратных уравнений относительно sin x или cos x (с проверкой ОДЗ), применение формул двойного угла и приведения. Дополнительно пригодятся: однородные уравнения (деление на cos²x) и метод вспомогательного угла для уравнений вида a·sin x + b·cos x = c.

Нужно записать все серии корней через запятую или пронумеровать. Обязательно указывать параметр и его область значений: n ∈ ℤ. Например: x = π/3 + 2πn; x = 2π/3 + 2πn; x = πk, где n, k ∈ ℤ. Не забывайте, что у sin x = a и cos x = a (при a ≠ 0, ±1) всегда две серии.

Есть два способа. Первый — двойное неравенство: для каждой серии x = f(n) записать a ≤ f(n) ≤ b и найти целые n, при которых оно выполняется, затем вычислить конкретные x. Второй — тригонометрическая окружность: отметить все точки из найденных серий и визуально определить, какие попадают в нужную дугу (отрезок). Рекомендуется комбинировать оба метода.

Это значит, что данная серия корней посторонняя (корней нет). Уравнение sin x = t при |t| > 1 не имеет решений. Такую ветку нужно исключить и продолжать работать только с теми значениями t, для которых |t| ≤ 1.

При делении на sin x предполагается, что sin x ≠ 0. Но x = πn (где sin x = 0) может быть корнем исходного уравнения — и тогда он потеряется. Правильный приём: перенести всё в одну часть, вынести sin x за скобки и решить систему «sin x = 0» или «скобка = 0».

Да, по критериям ЕГЭ это возможно. Если вы записали серии корней в пункте а) (пусть неверно) и затем правильно отобрали из них корни, принадлежащие заданному отрезку, — балл за б) начисляется. Поэтому даже при сомнениях записывайте пункт б) на основе своего ответа из а).

Готовы прокачать тригонометрию?

Задание 13 — одно из самых весомых в части 2 ЕГЭ: 2 балла за чёткое знание методов и аккуратный отбор корней. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и за пару недель доведёте навык до автоматизма.

Тренировать задание 13 Связанное: задание 12 Все задания ЕГЭ по математике