Задание 12 ЕГЭ по математике (профиль): производная и экстремумы

Задание 12 профильного ЕГЭ по математике — это начала математического анализа: нужно найти точку максимума, точку минимума, наибольшее или наименьшее значение функции. Задание относится к повышенному уровню сложности части 1, даёт 1 первичный балл и требует уверенного владения производной: уметь её вычислить, найти критические точки и правильно определить характер каждой из них. В статье — вся необходимая теория, таблица производных, алгоритм решения, пошаговые разборы двух реальных заданий из банка ФИПИ и список типичных ошибок. Тренироваться на реальных примерах можно в тренажёре задания 12 ЕГЭ онлайн — с мгновенной проверкой ответа.

Что проверяет задание 12

Задание проверяет умение работать с производной как инструментом исследования функции. Конкретные формулировки варьируются, но все они сводятся к одному из двух типов:

Что нужно уметь:

Находить производную функции (включая сложные функции, произведение, частное);
Находить критические точки — решать уравнение $f'(x) = 0$ и определять ОДЗ;
Определять знак производной на каждом интервале (метод интервалов);
Квалифицировать критическую точку: максимум (смена $+$ на $-$ ) или минимум (смена $-$ на $+$ );
Находить наибольшее/наименьшее значение функции на замкнутом отрезке (проверять концы + критические точки внутри отрезка).

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный
Уровень	Повышенный
Часть	1 (с кратким ответом)
Формат ответа	Целое число
Раздел	Начала математического анализа
Рекомендуемое время	5–8 минут
Связанные задания	8, 11

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 12 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа. Производные, экстремумы, наибольшее значение — всё в одном тренажёре, бесплатно.

Решать задание 12

Как выглядит формулировка

ФИПИ даёт формулу функции и просит найти точку экстремума или значение на отрезке. Типичные варианты:

«Найдите точку максимума функции $y = \log_2(2 + 2x - x^2) - 2$ .»
«Найдите наибольшее значение функции $y = 10\sin x - \dfrac{42x}{\pi} - 12$ на отрезке $\left[-\dfrac{5\pi}{6};\, 0\right]$ .»
«Найдите точку минимума функции $y = x^3 - 20x^2 + 100x + 23$ .»

Теория, необходимая для задания 12

Разберём четыре ключевых блока: что такое производная и критические точки, как по знаку производной определить тип экстремума, как найти наибольшее/наименьшее значение на отрезке и, наконец, справочная таблица производных.

Производная и критические точки

Производная $f'(x)$ показывает скорость изменения функции в каждой точке. Там где $f'(x) > 0$ , функция возрастает; там где $f'(x) < 0$ — убывает.

Критическая точка — это такое значение $x_0$ из области определения, в котором производная равна нулю:

f'(x_0) = 0

Критическая точка — это кандидат на экстремум, но не обязательно сам экстремум. Важно проверить смену знака производной вокруг неё.

Также нужно помнить об области определения (ОДЗ). Для логарифмической функции $\ln u(x)$ или $\log_a u(x)$ требуется $u(x) > 0$ . Критические точки вне ОДЗ отбрасываются.

Знак производной: максимум и минимум

Чтобы определить тип критической точки, используют метод интервалов: расставляем критические точки и границы ОДЗ на числовой прямой, затем проверяем знак $f'(x)$ на каждом интервале (подставляем любое удобное значение).

Если на интервале слева знак $+$ , а справа $-$ — это точка максимума: функция поднималась и начала опускаться.
Если слева $-$ , а справа $+$ — это точка минимума: функция опускалась и начала подниматься.
Если знак не меняется — точка не является экстремумом (например, точка перегиба).

Удобная схема (стрелки показывают монотонность):

\underbrace{\nearrow}_{\scriptscriptstyle f'>0} \quad x_{\max} \quad \underbrace{\searrow}_{\scriptscriptstyle f'<0} \qquad \underbrace{\searrow}_{\scriptscriptstyle f'<0} \quad x_{\min} \quad \underbrace{\nearrow}_{\scriptscriptstyle f'>0}

Граничные точки ОДЗ — это не точки экстремума, но они ограничивают интервалы знакочередования.

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

На замкнутом отрезке $[a;\, b]$ непрерывная функция обязательно достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Алгоритм:

Найти $f'(x)$ и критические точки (решить $f'(x) = 0$ на отрезке $[a;\, b]$ ).
Вычислить значение функции во всех критических точках $x_i \in (a;\, b)$ и на обоих концах:
$f(a),\quad f(x_1),\quad f(x_2),\quad \ldots,\quad f(b)$
Наибольшее из этих чисел — максимум, наименьшее — минимум функции на отрезке.

Если критических точек на отрезке нет (производная сохраняет знак), функция монотонна: наибольшее значение — на одном конце, наименьшее — на другом.

Таблица производных для ЕГЭ

Функция	Производная	Условия
$x^n$	$n\,x^{n-1}$	$n \in \mathbb{R}$
$e^x$	$e^x$	—
$a^x$	$a^x \ln a$	$a > 0,\; a \ne 1$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$	$x > 0,\; a > 0,\; a \ne 1$
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$u \cdot v$	$u'v + uv'$	правило произведения
$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$	правило частного, $v \ne 0$
$f(g(x))$	$f'(g(x)) \cdot g'(x)$	правило цепочки (сложная функция)

Для логарифма по основанию $a$ от сложной функции $u(x)$ производная: $\bigl(\log_a u(x)\bigr)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)\,\ln a}$ .

Алгоритм решения задания 12

Определите тип задачи. Нужно найти точку экстремума (максимум или минимум) или наибольшее/наименьшее значение на отрезке? Это влияет на шаги 4–5.
Найдите ОДЗ. Если в функции есть логарифм, дробь или корень — запишите условие существования и укажите ОДЗ. Это нужно как для поиска критических точек, так и для расстановки интервалов.
Вычислите производную $f'(x)$ . Используйте таблицу производных. Не забудьте про правило сложной функции (цепочка): если аргумент — не просто $x$ , а выражение, надо умножить на производную внутреннего аргумента.
Решите уравнение $f'(x) = 0$ . Найдите все корни этого уравнения. Отберите только те, что попадают в ОДЗ (и в отрезок, если задача про него).
Расставьте знаки производной методом интервалов: нанесите критические точки и границы ОДЗ на числовую прямую, подставьте в $f'(x)$ пробное значение из каждого интервала и запишите знак.
Сделайте вывод.
- Задача на точку экстремума: если знак меняется с «+» на «−», это максимум; с «−» на «+» — минимум.
- Задача на наибольшее/наименьшее на отрезке: вычислите значения функции во всех критических точках внутри отрезка и на обоих концах; выберите наибольшее (или наименьшее).
Запишите ответ. Ответом на задачу про точку экстремума является значение x (не значение функции!). Ответом на задачу про наибольшее/наименьшее — само значение функции.

Путаетесь в производных?

Прорешайте 10–15 заданий 12 подряд — правила дифференцирования и метод интервалов станут автоматическими. На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Точка максимума логарифмической функции

Условие (реальное задание из банка ФИПИ, ID 81111):

Найдите точку максимума функции $y = \log_2\!\left(2 + 2x - x^2\right) - 2$ .

Решение:

Шаг 1. ОДЗ. Логарифм определён, когда его аргумент строго положителен:

2 + 2x - x^2 > 0 \iff x^2 - 2x - 2 < 0

Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$ :

D = 4 + 8 = 12, \quad x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}

Парабола ветвями вверх, поэтому $x^2 - 2x - 2 < 0$ при $x \in \left(1 - \sqrt{3};\; 1 + \sqrt{3}\right)$ . Это и есть ОДЗ функции.

Шаг 2. Производная. Используем правило для $\log_a u(x)$ : производная равна $\dfrac{u'(x)}{u(x)\,\ln a}$ . Здесь $u(x) = 2 + 2x - x^2$ , $u'(x) = 2 - 2x$ , $a = 2$ :

y' = \frac{2 - 2x}{(2 + 2x - x^2)\,\ln 2}

Шаг 3. Критические точки. Приравниваем числитель к нулю (знаменатель обнуляется только на границах ОДЗ):

2 - 2x = 0 \implies x = 1

Точка $x = 1$ принадлежит ОДЗ (так как $1 - \sqrt{3} \approx -0{,}73$ и $1 + \sqrt{3} \approx 2{,}73$ , а $-0{,}73 < 1 < 2{,}73$ ).

Шаг 4. Метод интервалов. На ОДЗ знаменатель строго положителен (в нём $\ln 2 > 0$ и $2 + 2x - x^2 > 0$ по условию ОДЗ). Поэтому знак производной определяется знаком числителя $2 - 2x$ :

При $x < 1$ : $2 - 2x > 0$ , значит $y' > 0$ (функция возрастает).
При $x > 1$ : $2 - 2x < 0$ , значит $y' < 0$ (функция убывает).

Знак производной меняется с $+$ на $-$ при переходе через $x = 1$ . Это точка максимума.

Ответ: 1.

Пример 2. Наибольшее значение функции на отрезке

Условие (реальное задание из банка ФИПИ, ID 77411):

Найдите наибольшее значение функции $y = 10\sin x - \dfrac{42x}{\pi} - 12$ на отрезке $\left[-\dfrac{5\pi}{6};\; 0\right]$ .

Решение:

Шаг 1. ОДЗ. Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$ , ОДЗ — весь отрезок $\left[-\dfrac{5\pi}{6};\; 0\right]$ .

Шаг 2. Производная.

y' = 10\cos x - \frac{42}{\pi}

Шаг 3. Критические точки. Приравниваем к нулю:

10\cos x - \frac{42}{\pi} = 0 \implies \cos x = \frac{42}{10\pi} = \frac{4{,}2}{\pi}

Так как $\pi \approx 3{,}14$ , получаем $\dfrac{4{,}2}{\pi} \approx 1{,}337 > 1$ . Значение косинуса не может превышать 1, поэтому уравнение $\cos x = \dfrac{4{,}2}{\pi}$ не имеет решений. Критических точек нет.

Шаг 4. Монотонность. Поскольку $|\,10\cos x\,| \le 10$ , а $\dfrac{42}{\pi} \approx 13{,}37 > 10$ , производная $y'$ отрицательна при всех $x$ . Функция монотонно убывает на всей числовой прямой, в том числе на нашем отрезке.

Шаг 5. Сравниваем значения на концах. Так как функция убывает, наибольшее значение на отрезке — на его левом конце $x = -\dfrac{5\pi}{6}$ :

y\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 10\sin\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right) - \frac{42}{\pi}\cdot\left(-\frac{5\pi}{6}\right) - 12

Вычислим каждое слагаемое. Синус: $\sin\!\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$ . Второе слагаемое: $-\dfrac{42}{\pi}\cdot\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) = \dfrac{42\cdot 5}{6} = 35$ .

y = 10\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) + 35 - 12 = -5 + 35 - 12 = 18

Ответ: 18.

Типичные ошибки и ловушки

Забыли про ОДЗ логарифма

Для $\log_a u(x)$ обязательно $u(x) > 0$ . Критические точки, лежащие вне ОДЗ, — не точки экстремума. Чаще всего это проявляется в том, что знаменатель производной обнуляется в той же точке, которую надо анализировать — такую точку нельзя принимать как экстремум.

Перепутали «+→−» и «−→+»

Максимум — это когда производная меняет знак с плюса на минус (функция поднималась и начала опускаться). Минимум — с минуса на плюс. Частая ошибка — перепутать: написать «максимум», когда знак меняется с «−» на «+», то есть там, где на самом деле минимум.

Не проверили концы отрезка

При поиске наибольшего/наименьшего значения на отрезке обязательно вычислите функцию в обоих концах — и $f(a)$ , и $f(b)$ . Наибольшее значение может оказаться именно на конце, а не во внутренней критической точке. Пропустить концы — типичная причина неверного ответа.

Неверная производная сложной функции

Для $f(g(x))$ правило цепочки: $(f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x)$ . Часто забывают умножить на $g'(x)$ . Например, $(\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$ , а не просто $\cos(3x)$ .

Написали значение функции вместо аргумента

Если задача звучит «найдите точку максимума», ответом является значение $x$ — это аргумент функции. Типичная ошибка — вычислить $f(x_0)$ и записать его в ответ. Если же нужно наибольшее значение — ответом будет $f(x_0)$ .

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 12 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

Задание 11 обычно проверяет умение читать график функции или её производной: найти количество экстремумов, промежутки монотонности, знак производной. Задание 12 требует аналитической работы с формулой: вычислить производную, решить уравнение и определить тип критической точки или найти наибольшее/наименьшее значение.

Нет. Задание 12 не требует правила Лопиталя. Оно решается стандартными правилами дифференцирования из таблицы: степенная функция, логарифм, показательная функция, тригонометрические функции и правила для произведения, частного и сложной функции.

Используйте метод интервалов: нанесите на числовую прямую все критические точки и границы ОДЗ, затем для каждого интервала подставьте одно удобное число (например, целое) и определите знак f'(x). Знак меняется только в точках, где f'(x) = 0 или где производная не определена.

Если f'(x) не обращается в ноль внутри отрезка, функция монотонна на нём. Достаточно сравнить значения на концах: если f' > 0, функция возрастает и наибольшее значение — на правом конце; если f' < 0 — убывает и наибольшее на левом конце.

Запомните мнемонику через форму букв: максиМум — производная меняет знак с «+» на «−» (идёт «М» — поднялась и опустилась). МиниМум — с «−» на «+» (впадина). Или ориентируйтесь на поведение функции: в точке максимума функция до неё возрастала, после неё убывает.

Производная логарифмической функции содержит в знаменателе сам аргумент логарифма, который должен быть строго положителен. Если «кандидат» на критическую точку лежит вне ОДЗ, функция там не определена — это не точка экстремума. Кроме того, границы ОДЗ ограничивают интервалы для метода интервалов.

5–8 минут. Это одно из самых трудоёмких заданий части 1. Если вы уверенно берёте производную и решаете линейное/квадратное уравнение — укладывайтесь в 5 минут. Если чувствуете, что «застряли» — пропускайте и возвращайтесь в конце части 1.

Готовы прокачать анализ функций?

Задание 12 — одно из ключевых в части 1: оно проверяет математический анализ, который используется и в заданиях части 2. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и производные станут второй натурой.

Тренировать задание 12 Задание 11: графики производной Все задания ЕГЭ по математике