Задание 1 ЕГЭ по математике (профиль): планиметрия

Задание 1 профильного ЕГЭ по математике — это планиметрия, то есть геометрия на плоскости. Вам дают чертёж (треугольник, четырёхугольник или окружность с элементами) и просят найти длину, угол, площадь или другую величину. Ответ — число, которое записывается в бланк. За задание дают 1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1, любой другой — 0. Несмотря на скромный вес, задание 1 открывает вариант и задаёт настрой, а планиметрические факты из него понадобятся в более дорогом задании 17. В статье — что именно проверяют, все нужные формулы и свойства (углы, биссектриса, подобие, окружность), пошаговый алгоритм, два разбора реальных заданий и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 1 ЕГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 1

Задание проверяет владение базовой планиметрией: умение применять свойства фигур и стандартные формулы к конкретному чертежу. Темы, которые встречаются чаще всего:

Что нужно уметь:

находить элементы треугольника (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы);
применять теорему Пифагора, теоремы синусов и косинусов;
работать со свойствами прямоугольных и равнобедренных треугольников;
находить элементы и площади четырёхугольников (параллелограмм, ромб, трапеция);
применять свойства окружности: вписанные и центральные углы, касательные, хорды;
вычислять площади фигур.

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень сложности	Базовый
Формат ответа	Целое число или конечная десятичная дробь
Раздел	Планиметрия
Рекомендуемое время	3–5 минут
Связанные задания	17 (планиметрия с доказательством, развёрнутый ответ)

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 1 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с чертежами и мгновенной проверкой ответа. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 1

Как выглядит формулировка

ФИПИ даёт чертёж и короткое условие. Формулировки разные, но все сводятся к «найдите величину». Примеры:

«В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$ , $AB = 13$ , $BC = 5$ . Найдите $\sin A$ ».
«Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке».
«Центральный угол на $36^\circ$ больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах».

Формулы, которые нужно знать

Почти все задания 1 решаются одной-двумя формулами. Главное — быстро узнать тип фигуры и вспомнить нужное соотношение.

Прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора (катеты $a, b$ , гипотенуза $c$ ):

c^2 = a^2 + b^2

Тригонометрия острого угла $\alpha$ :

\sin\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}, \quad \cos\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}, \quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}

Площадь: $S = \tfrac{1}{2}ab$ (половина произведения катетов).

Произвольный треугольник

Теорема косинусов:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Теорема синусов ( $R$ — радиус описанной окружности):

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

Площадь через две стороны и угол между ними:

S = \frac{1}{2}ab\sin C

Сумма углов треугольника всегда $180^\circ$ .

Четырёхугольники

Прямоугольник: $S = ab$ .
Параллелограмм: $S = a\cdot h$ (сторона на высоту) или $S = ab\sin\alpha$ .
Ромб: $S = \tfrac{1}{2}d_1 d_2$ (половина произведения диагоналей).
Трапеция: $S = \frac{a+b}{2}\cdot h$ (полусумма оснований на высоту).

Параллелограмм с основанием a и высотой h — Площадь параллелограмма = основание a × высота h

Трапеция с основаниями a, b и высотой h — Площадь трапеции = полусумма оснований (a + b)/2 × высота h

Окружность

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: $\angle_{\text{впис}} = \tfrac{1}{2}\angle_{\text{центр}}$ .
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$ .
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Длина окружности $C = 2\pi R$ , площадь круга $S = \pi R^2$ .

Вписанный угол ACB, опирающийся на диаметр AB, равен 90 градусам — Угол, опирающийся на диаметр, равен 90°

Углы: «охота за углами»

Почти половина заданий 1 — это не вычисления, а поиск неизвестного угла через свойства фигуры. Базовый набор фактов:

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$ .
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Равнобедренный треугольник: углы при основании равны. Равносторонний — все углы по $60^\circ$ .
Биссектриса делит угол пополам; медиана — сторону пополам; высота перпендикулярна стороне.
Вертикальные углы равны; смежные — в сумме $180^\circ$ .
При параллельных прямых и секущей: накрест лежащие и соответственные углы равны, односторонние — в сумме $180^\circ$ .

Треугольник ABC с биссектрисой AD, делящей угол A на два равных — Биссектриса AD делит угол A пополам: ∠BAD = ∠DAC

Подобие и средние линии

Треугольники подобны, если у них равны два угла. У подобных фигур стороны пропорциональны, а площади относятся как квадрат коэффициента подобия.
Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m = \tfrac{a+b}{2}$ .

Треугольник ABC со средней линией MN, параллельной основанию BC — Средняя линия MN ∥ BC и равна половине BC

Вписанный четырёхугольник, касательная и хорды

У вписанного четырёхугольника суммы противоположных углов равны $180^\circ$ : $\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ$ .
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду (половине дуги).
Для пересекающихся хорд произведения отрезков равны: $AP\cdot PB = CP\cdot PD$ .
Отрезки двух касательных из одной точки равны.

Четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность — Вписанный четырёхугольник: ∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°

Окружность с касательной в точке A и хордой AB, угол α между ними — Угол α между касательной и хордой равен половине дуги AB

Алгоритм решения задания 1

Определите фигуру. Треугольник, четырёхугольник или окружность? Прямоугольный ли треугольник, равнобедренный?
Отметьте на чертеже всё, что дано. Подпишите известные стороны и углы прямо на рисунке — так не потеряете данные.
Вспомните, что́ ищут, и подберите формулу. Под каждую величину (сторона, угол, площадь) есть стандартное соотношение из списка выше.
Подставьте числа и посчитайте. Следите за единицами и не округляйте раньше времени.
Проверьте здравым смыслом. Сторона не может быть отрицательной, угол треугольника — больше $180^\circ$ , синус — больше 1. Если получилось — ищите ошибку.

Путаетесь в формулах планиметрии?

Прорешайте 10–15 заданий 1 подряд — формулы быстро лягут в память. На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа и разбор решения.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Прямоугольный треугольник

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$ , $AB = 8$ , $\sin\angle A = 0{,}75$ . Найдите $BC$ .

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и гипотенузой AB = 8 — Треугольник ABC: ∠C = 90°, AB = 8, sin∠A = 0,75 — найти BC

Решение:

Треугольник прямоугольный (угол $C = 90^\circ$ ), значит $AB$ — гипотенуза, а $BC$ — катет, противолежащий углу $A$ . Синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, поэтому $\sin A = \dfrac{BC}{AB}$ , откуда:

BC = AB \cdot \sin A = 8 \cdot 0{,}75 = 6

Ответ: 6. Проверка: катет $BC = 6$ меньше гипотенузы $AB = 8$ — значит, ответ правдоподобен.

Пример 2. Охота за углами (биссектриса)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ . Найдите угол $ABD$ , если угол $BAD$ равен $18^\circ$ и угол $ACB$ равен $61^\circ$ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

$AD$ — биссектриса угла $A$ , значит она делит его пополам, и весь угол $A$ вдвое больше угла $BAD$ :

\angle BAC = 2 \cdot \angle BAD = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ

Угол $ABD$ — это угол $ABC$ (точка $D$ лежит на стороне $BC$ ). Находим его из суммы углов треугольника $ABC$ :

\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 36^\circ - 61^\circ = 83^\circ

Ответ: 83. Здесь не понадобилось ни одной формулы — только свойство биссектрисы и сумма углов треугольника.

Типичные ошибки и ловушки

Перепутать катеты и гипотенузу

Гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной. В $\sin$ и $\cos$ в знаменателе — именно гипотенуза.

Спутать вписанный и центральный угол

Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. Частая ошибка — взять их равными или перепутать, что именно вдвое больше.

Брать сторону вместо высоты

В площади параллелограмма и трапеции $h$ — это высота (перпендикуляр), а не боковая сторона. Боковую сторону умножать на основание нельзя.

Неверная запись десятичной дроби

Ответ записывается в бланк без единиц измерения. Десятичная дробь — через запятую (например, 2,5), без лишних нулей и пробелов.

Путать биссектрису, медиану и высоту

Биссектриса делит угол пополам, медиана — делит сторону пополам, высота — перпендикулярна стороне. В равнобедренном треугольнике, проведённые к основанию, они совпадают, но в общем случае — нет.

Зачем планиметрия нужна дальше

Задание 1 — это «разминка» перед заданием 17 части 2, где планиметрию нужно не просто посчитать, а доказать и оформить полное решение на 3 балла. Свойства углов, теоремы синусов и косинусов, признаки подобия — всё это работает в обоих заданиях. Чем увереннее вы решаете задание 1, тем легче даётся «большая» планиметрия.

Задание 17: планиметрия с доказательством Задание 3: стереометрия

План подготовки на 2 недели

Неделя 1 — формулы и базовые факты

Выпишите на одну карточку все формулы из этой статьи: теорему Пифагора, теоремы синусов и косинусов, площади фигур, свойства вписанных углов. Каждый день решайте по 8–10 заданий одного типа (сначала треугольники, потом четырёхугольники, потом окружности), подглядывая в карточку. Цель — узнавать формулу по чертежу за секунды.

Неделя 2 — вперемешку и на время

Решайте по 5–7 заданий 1 из открытого банка ФИПИ вперемешку, не больше 4 минут на каждое и уже без карточки. После каждой серии разбирайте ошибки: на каких фигурах спотыкаетесь чаще. Доведите навык до автоматизма, чтобы на экзамене задание 1 не отнимало времени у части 2.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 1 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1 балл, любой другой — 0. Все задания части 1 (1–12) оцениваются в 1 балл, поэтому задание 1 «стоит» столько же, сколько, например, задание с производной.

Чаще всего: прямоугольный и произвольный треугольник (теорема Пифагора, синусы-косинусы, площадь), четырёхугольники (параллелограмм, ромб, трапеция) и окружность (вписанные и центральные углы, касательные). Реже — подобие и средняя линия.

Теорему Пифагора, определения синуса, косинуса и тангенса острого угла, теоремы синусов и косинусов, формулы площадей треугольника и четырёхугольников, а также свойство вписанного угла (он вдвое меньше центрального). Этого хватает почти для всех заданий 1.

Многие задания 1 решаются «охотой за углами» без единой формулы. Нужно знать: сумму углов треугольника (180°), внешний угол (= сумме двух несмежных внутренних), равенство углов при основании равнобедренного треугольника, свойство биссектрисы (делит угол пополам), углы при параллельных прямых и свойства вписанных углов (в том числе сумму противоположных углов вписанного четырёхугольника = 180°). Дальше — последовательно выражать неизвестные углы через известные.

Ответ — это число без единиц измерения. Целое число записывается как есть, десятичная дробь — через запятую (например, 0,38). Углы, если просят, — в градусах.

Да. На Repet.ai в разделе ЕГЭ по математике загружены задания 1 из открытого банка ФИПИ. Вы решаете задание онлайн, сразу видите, верный ли ответ, и можете разобрать решение. Это удобнее, чем сверяться с ключами в конце сборника.

3–5 минут. Это одно из самых быстрых заданий варианта. Если за пару минут не видите подхода — отметьте его и идите дальше, чтобы оставить время на часть 2, и вернитесь в конце.

Готовы прокачать планиметрию?

Задание 1 — это база геометрии всего ЕГЭ и трамплин к заданию 17. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и за пару недель доведёте навык до автоматизма.

Тренировать задание 1 Дальше: задание 17 Все задания ЕГЭ по математике