Вариант 9 · Май 2026

Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 10. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

Даны векторы $\overset{\rightarrow}{a} \left\{\right. - 3 ; 5 \left.\right\}$ и $\overset{\rightarrow}{b} \left\{\right. 1 ; 13 \left.\right\} .$ Найдите скалярное произведение $\overset{\rightarrow}{a} \cdot \overset{\rightarrow}{b} .$

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O - центр основания, SO = 48, SC = 73. Найдите длину отрезка AC.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 6 из Швеции, 5 из Дании, 10 из Норвегии и 4 из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Норвегии.

Найдите корень уравнения $\log _{27} 3^{5 x + 5} = 2 .$

Найдите значение выражения $2 \sqrt{3} \cos ^{2} \frac{13 \pi}{12} - \sqrt{3} .$

На рисунке изображён график функции $y = f ( x ) .$ На оси абсцисс отмечены шесть точек: $x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} , x_{5} , x_{6} .$ В скольких из этих точек производная функции $f ( x )$ отрицательна?

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением $v = c \cdot \frac{f - f_{0}}{f + f_{0}} ,$ где $с = 1500$ м/с – скорость звука в воде, $f_{0}$ – частота испускаемого сигнала (в МГц), $f$ – частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/c.

Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

На рисунке изображен график вида $f ( x ) = \log _{a} x .$ Найдите значение $f ( 16 ) .$

Найдите точку максимума функции $y = x^{3} - 75 x + 19 .$

а) Решите уравнение: $2 \sin ( \pi + x ) \cdot \sin ( \frac{\pi}{2} + x ) = \sin x$
б) Найдите корни, принадлежащие промежутку $[ 3 \pi ; \frac{9 \pi}{2} \left]\right.$

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1} , O$  - центр грани $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} .$ Плоскости $( AOB )$ и $( BOC )$  - прямоугольники, и стороны $AB$ и $CD$ являются их меньшими сторонами. $AB$ и $BC$ в 3 раза меньше соответственных больших сторон сечений.
а)  Докажите, что $ABCD$  - квадрат.
б)  Найдите угол между $A_{1} С$ и $( BOC ) .$

Решите неравенство $11^{x} - 6 - \frac{24 \cdot 11^{x} - 244}{121^{x} - 16 \cdot 11^{x} + 60} \leq \frac{1}{11^{x} - 10} .$

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика будет меньше 7 млн рублей.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O .$ Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A .$ Известно, что $\angle MNK = 90^{\circ} , \angle NKL = \angle KLM = 120^{\circ} .$
а)  Докажите, что точка $А$ лежит на прямой $LO .$
б)  Найдите длину стороны $МN ,$ если $LA = 3 .$

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых уравнение
$x^{4} + \left(a - 3\right)^{2} = \left|x - a + 3\right| + \left|x + a - 3\right|$
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно, одного) на доске написали числа, большие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 51, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел уменьшилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 17?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.