Вариант 4 · Май 2026

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ} , AB = 5 , BC = 4 .$ Найдите $\cos A .$

Даны векторы $\overset{\rightarrow}{a} ( 2 ; 1 )$ и $\overset{\rightarrow}{b} ( 2 ; - 4 ) .$ Найдите скалярное произведение векторов $\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b}$ и $7 \overset{\rightarrow}{a} - \overset{\rightarrow}{b} .$

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен $28 \sqrt{2} .$ Найдите образующую конуса.

В сборнике билетов по математике всего 48 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме «Логарифмы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Логарифмы».

Вероятность того, что новый тостер прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,82. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Найдите корень уравнения $\log _{4} \left(x - 4\right) = 3 .$

Найдите значение выражения $\log _{7} 12{,}25 + \log _{7} 4 .$

На рисунке изображен график производной функции $y = f ' \left(x\right) .$ На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} , x_{5} , x_{6} , x_{7} , x_{8} , x_{9} .$ Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f \left(x\right)$?

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H \left(t\right) = H_{0} + b t + a t^{2} ,$ где $t$ - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана, $H_{0} = 3 м$ - начальный уровень воды, $\alpha = \frac{1}{432} \frac{м}{м и н^{2}} , b = - \frac{1}{6} \frac{м}{м и н} .$ В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Заказ на изготовление 192 деталей первый рабочий выполняет на 4 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 4 детали больше?

На рисунке изображен график функции вида $f \left(x\right) = a^{x} .$ Найдите значение $f ( 5 ) .$

Найдите точку минимума функции $y = 10 x - \ln ( x - 5 ) + 3 .$

а) Решите уравнение $4 \sin ^{3} x + 4 \sqrt{3} \cos ^{2} x + 3 \sin x = 4 \sqrt{3} .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi ; \frac{5 \pi}{2}\right] .$

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB = 4 .$ Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha .$
а)  Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D .$
б)  В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC ,$ считая от вершины $S ,$ если площадь сечения равна $2 \sqrt{14} ?$

Решите неравенство: $\log _{25} \left(x - 4\right) \left(x^{2} - 2 x - 8\right) + 1 \geq 0{,}5 \log _{5} \left(x - 4\right)^{2} .$

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- платежи в 2027 и 2028 годах должны быть по 300 тыс. рублей;
- к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году будет равен 417,6 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC .$
а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD ,$ если $AD = 15$ и $AC = 2 \sqrt{61} .$

Найдите все значения параметра $a ,$ при каждом из которых уравнение
$\sqrt{x - a} \cdot \ln \left(3 x - a\right) = \ln \left(3 x - a\right) \ln \left(x - 1\right)$
имеет ровно один корень на отрезке $\left[0 ; 1\right] .$

На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел из записанных является целым числом.
а)  Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 567 и 1414?
б)  Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 567?
в)  Известно, что среди записанных на доске чисел есть число $n$ и его квадрат $n^{2} .$ Найдите наименьшее возможное значение $n .$