Вариант 2 · Май 2026

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $120^{\circ} ,$угол $ABD$ равен $43^{\circ} .$ Найдите угол $CAD .$ Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\overset{\rightarrow}{a} ( 0 ; 3 ) , \overset{\rightarrow}{b} ( - 2 ; 4 ) , \overset{\rightarrow}{c} ( 4 ; - 1 ) .$ Найдите длину вектора $a + 2 b + c .$

Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 50. Найдите объём цилиндра.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 11 очков. Результат округлите до сотых.

Найдите корень уравнения $36^{x - 5} = \frac{1}{6} .$

Найдите значение выражения $\log _{7} 12{,}25 + \log _{7} 4 .$

На рисунке изображены график функции $y = f ( x )$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0} .$ Найдите значение производной функции $f ( x )$ в точке $x_{0} .$

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_{0} = 24$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 3$ м/с². За t секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v_{0} t - \frac{at^{2}}{2}$метров. Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ дайте в секундах.

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающихся в точке А. Найдите абсциссу точки А.

Найдите точку максимума функции $y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 5 .$

а) Решите уравнение $2 \sin x + 2 \sqrt{3} \sin ( - x ) - 4 \cos ^{2} x = \sqrt{3} - 4$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right] .$

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB = 5$ и диагональю $BD = 9 .$ Все боковые ребра пирамиды равны 5. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E ,$ а на ребре $AS$ - точка $F$ так, что $SF = BE = 4 .$
а) Докажите, что плоскость $CEF$ параллельна ребру $SB .$
б) Плоскость $CEF$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q .$ Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $ABC .$

Решите неравенство $\frac{4}{3^{x} - 27} \geq \frac{1}{3^{x} - 9} .$

Зависимость количества $Q$ (в шт., $0 \leq Q \leq 20000$) купленного у фирмы товара от цены $P$ (в руб. за шт.) выражается формулой $Q = 20000 - P .$ Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $6000 Q + 4000000$ рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог $t$ рублей $\left(0 < t < 10000\right)$ с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет $PQ - 6000 Q - 4000000 - tQ$ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна $tQ$ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении $t$ общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13.

а)  Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б)  Найдите площадь трапеции.

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
$\left\{\begin{matrix} \left(( \left|x\right| - 5 )\right)^{2} + \left(( y - 4 )\right)^{2} = 9 , \\ \left(( x + 2 )\right)^{2} + y^{2} = a^{2} \end{matrix}\right.$
имеет единственное решение.

Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.
а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски длиной 1 см?
б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски длиной 1 см?
в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?