Решим исходное неравенство, используя метод замены переменной. Заметим, что \(4^x = (2^x)^2\). Пусть \(t = 2^x\), при этом \(t > 0\). Тогда неравенство принимает вид: \[\frac{t^2 - 5t + 3}{t - 4} + \frac{t^2 - 5t + 11}{t - 5} \le 2t + 1\]

Выделим целую часть в каждой дроби в левой части выражения: \[\frac{t(t - 4) - (t - 4) - 1}{t - 4} + \frac{t(t - 5) + 11}{t - 5} \le 2t + 1\] \[t - 1 - \frac{1}{t - 4} + t + \frac{11}{t - 5} \le 2t + 1\] \[2t - 1 - \frac{1}{t - 4} + \frac{11}{t - 5} \le 2t + 1\]

Упростим полученное неравенство, вычтя \(2t\) из обеих частей и перенеся все слагаемые в левую сторону: \[\frac{11}{t - 5} - \frac{1}{t - 4} - 2 \le 0\]

Приведем выражение к общему знаменателю: \[\frac{11(t - 4) - (t - 5) - 2(t - 4)(t - 5)}{(t - 4)(t - 5)} \le 0\] \[\frac{11t - 44 - t + 5 - 2(t^2 - 9t + 20)}{(t - 4)(t - 5)} \le 0\] \[\frac{10t - 39 - 2t^2 + 18t - 40}{(t - 4)(t - 5)} \le 0\] \[\frac{-2t^2 + 28t - 79}{(t - 4)(t - 5)} \le 0\]

Умножим на \(-1\), сменив знак неравенства: \[\frac{2t^2 - 28t + 79}{(t - 4)(t - 5)} \ge 0\]

Найдем корни квадратного трехчлена в числителе \(2t^2 - 28t + 79 = 0\): \[D = 28^2 - 4 \cdot 2 \cdot 79 = 784 - 632 = 152\] \[t_{1,2} = \frac{28 \pm \sqrt{152}}{4} = \frac{28 \pm 2\sqrt{38}}{4} = 7 \pm \frac{\sqrt{38}}{2}\]

Так как \(6 < \sqrt{38} < 7\), то \(3 < \frac{\sqrt{38}}{2} < 3,5\). Следовательно: \[3,5 < 7 - \frac{\sqrt{38}}{2} < 4 \quad \text{и} \quad 10 < 7 + \frac{\sqrt{38}}{2} < 10,5\]

Решим рациональное неравенство относительно \(t\) методом интервалов: \[t \in \left(0; 7 - \frac{\sqrt{38}}{2}\right] \cup (4; 5) \cup \left[7 + \frac{\sqrt{38}}{2}; +\infty\right)\]

Вернемся к переменной \(x\), учитывая, что \(t = 2^x\):
1) \(2^x \le 7 - \frac{\sqrt{38}}{2} \Rightarrow x \le \log_2 \left(7 - \frac{\sqrt{38}}{2}\right)\)
2) \(4 < 2^x < 5 \Rightarrow 2 < x < \log_2 5\)
3) \(2^x \ge 7 + \frac{\sqrt{38}}{2} \Rightarrow x \ge \log_2 \left(7 + \frac{\sqrt{38}}{2}\right)\)

Ответ: \(\left(-\infty; \log_2 \left(7 - \frac{\sqrt{38}}{2}\right)\right] \cup (2; \log_2 5) \cup \left[\log_2 \left(7 + \frac{\sqrt{38}}{2}\right); +\infty\right)\)

Источник: ФИПИ