Разбор решения:
Исходное неравенство имеет вид:
\[\frac{13 - 5 \cdot 3^{x}}{3^{2 x} - 12 \cdot 3^{x} + 27} \geq 0{,}5\]
Для упрощения выражения введём новую переменную \(t = 3^{x}\), где \(t > 0\). Тогда неравенство примет вид:
\[\frac{13 - 5 t}{t^{2} - 12 t + 27} \geq \frac{1}{2}\]
Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:
\[\frac{2(13 - 5t) - (t^2 - 12t + 27)}{2(t^2 - 12t + 27)} \geq 0\]
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в числителе:
\[\frac{26 - 10t - t^2 + 12t - 27}{2(t^2 - 12t + 27)} \geq 0\]
\[\frac{-t^2 + 2t - 1}{2(t^2 - 12t + 27)} \geq 0\]
Умножим обе части на \(-1\), поменяв знак неравенства, и выделим полный квадрат в числителе:
\[\frac{t^2 - 2t + 1}{2(t^2 - 12t + 27)} \leq 0 \implies \frac{(t - 1)^2}{2(t^2 - 12t + 27)} \leq 0\]
Найдём корни знаменателя \(t^2 - 12t + 27 = 0\). По теореме Виета получаем: \(t_1 = 3\), \(t_2 = 9\).
Разложим знаменатель на множители:
\[\frac{(t - 1)^2}{(t - 3)(t - 9)} \leq 0\]
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Учитывая знаки на промежутках, получаем значения для \(t\):
\(t \in (3; 9) \cup \{1\}\)
Выполним обратный переход к переменной \(x\):
1) \(3^x = 1 \implies x = 0\)
2) \(3 < 3^x < 9 \implies 3^1 < 3^x < 3^2 \implies 1 < x < 2\)
Объединяя результаты, находим итоговое множество решений: \(x \in \{0\} \cup (1; 2)\).

Критерии оценивания:
2 балла: Ход решения полностью верен, получен правильный ответ.
1 балл: Допущена одна вычислительная ошибка, либо ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек, при этом логика решения сохранена.
0 баллов: Решение не соответствует указанным выше требованиям.

Ответ: \(x \in \{0\} \cup (1; 2)\)

Источник: ФИПИ