Разбор решения:
Для начала определим область допустимых значений: так как знаменатели не могут быть равны нулю, получаем условие \(x \neq -1\).
Введем вспомогательную переменную, положив \(t = 5^{x}\). Тогда исходное неравенство примет вид:
\[\frac{1}{t + 31} \leq \frac{4}{5t - 1}\] Перенесем всё в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю:
\[\frac{5t - 1 - 4(t + 31)}{(t + 31)(5t - 1)} \leq 0\] После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в числителе получаем:
\[\frac{t - 125}{(t + 31)(5t - 1)} \leq 0\] Решим полученное рациональное неравенство относительно \(t\) методом интервалов:

Множество решений для \(t\): \(t \in (-\infty; -31) \cup (\frac{1}{5}; 125]\).
Выполним переход к исходной переменной \(x\), учитывая, что показательная функция \(5^x\) всегда принимает только положительные значения (\(5^x > 0\)):
1) Условие \(5^x < -31\) не имеет решений.
2) Условие \(\frac{1}{5} < 5^x \leq 125\) равносильно \(5^{-1} < 5^x \leq 5^3\).
Отсюда получаем интервал для переменной \(x\): \(x \in (-1; 3]\).

Критерии оценивания:
2 балла — решение полностью обосновано, получен правильный ответ.
1 балл — допущена вычислительная ошибка, не влияющая на общую логику решения, либо ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек.
0 баллов — решение не удовлетворяет вышеуказанным требованиям.

Ответ: \(x \in (-1; 3]\)

Источник: ФИПИ