Решим логарифмическое неравенство, определив область допустимых значений переменной \(x\). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

\[\begin{cases} x^2 > 0 \\ 25-x^2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 0 \\ x^2 < 25 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 0 \\ -5 < x < 5 \end{cases}\]

Таким образом, область определения: \(x \in (-5; 0) \cup (0; 5)\).

Преобразуем исходное неравенство, используя свойства логарифма:

\[\log_5 (x^2) + \log_5 (25-x^2) \le \log_5 144\]

\[\log_5 (x^2(25-x^2)) \le \log_5 144\]

Так как основание логарифма \(5 > 1\), логарифмическая функция возрастает, и мы переходим к сравнению аргументов:

\[x^2(25-x^2) \le 144\]

\[25x^2 - x^4 - 144 \le 0\]

\[x^4 - 25x^2 + 144 \ge 0\]

Введем замену \(t = x^2\), где \(t \ge 0\). Получаем квадратное неравенство:

\[t^2 - 25t + 144 \ge 0\]

Корни уравнения \(t^2 - 25t + 144 = 0\) по теореме Виета: \(t_1 = 9\), \(t_2 = 16\). Тогда:

\[(t-9)(t-16) \ge 0 \Rightarrow t \le 9 \text{ или } t \ge 16\]

Возвращаемся к переменной \(x\):

1) \(x^2 \le 9 \Leftrightarrow |x| \le 3 \Leftrightarrow -3 \le x \le 3\)

2) \(x^2 \ge 16 \Leftrightarrow |x| \ge 4 \Leftrightarrow x \le -4 \text{ или } x \ge 4\)

Теперь пересечем полученные решения с ОДЗ \(x \in (-5; 0) \cup (0; 5)\):

Для первого случая с учетом \(x \neq 0\): \(x \in [-3; 0) \cup (0; 3]\).

Для второго случая с учетом границ \(-5\) и \(5\): \(x \in (-5; -4] \cup [4; 5)\).

Объединяя все промежутки, получаем итоговое множество решений.

Ответ: \((-5; -4] \cup [-3; 0) \cup (0; 3] \cup [4; 5)\)

Критерии оценивания:
2 балла — приведен полный обоснованный вывод и получен правильный ответ.
1 балл — решение в целом верно, но допущена одна вычислительная ошибка, либо ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек.
0 баллов — решение не удовлетворяет вышеуказанным требованиям.

Источник: ФИПИ