Решим логарифмическое неравенство, предварительно определив область допустимых значений переменной. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

\[\begin{cases} x^2 > 0 \\ x^2 - 16x + 64 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 0 \\ (x - 8)^2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 8 \end{cases}\]

Теперь преобразуем исходное выражение, используя свойства логарифма:

\[\log_{2}(x^2) + \log_{2}((x-8)^2) \leqslant 18\]

\[2\log_{2}|x| + 2\log_{2}|x-8| \leqslant 18\]

Разделим обе части неравенства на 2:

\[\log_{2}|x| + \log_{2}|x-8| \leqslant 9\]

\[\log_{2}(|x| \cdot |x-8|) \leqslant \log_{2} 2^9\]

Так как основание логарифма \(2 > 1\), переходим к сравнению аргументов с сохранением знака неравенства:

\[|x^2 - 8x| \leqslant 512\]

Данное неравенство с модулем равносильно системе:

\[\begin{cases} x^2 - 8x \leqslant 512 \\ x^2 - 8x \geqslant -512 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 - 8x - 512 \leqslant 0 \\ x^2 - 8x + 512 \geqslant 0 \end{cases}\]

Рассмотрим второе неравенство системы: \(x^2 - 8x + 512 \geqslant 0\). Дискриминант \(D = 64 - 4 \cdot 512 < 0\), а коэффициент при \(x^2\) положителен, значит, оно выполняется при любых \(x\).

Решим первое неравенство: \(x^2 - 8x - 512 \leqslant 0\). Найдём корни уравнения \(x^2 - 8x - 512 = 0\):

\[D/4 = 16 + 512 = 528 = 16 \cdot 33\]

\[x_{1,2} = 4 \pm 4\sqrt{33}\]

Следовательно, \(x \in [4 - 4\sqrt{33}; 4 + 4\sqrt{33}]\). Учитывая ограничения \(x \neq 0\) и \(x \neq 8\), получаем итоговое решение.

Ответ: \([4 - 4\sqrt{33}; 0) \cup (0; 8) \cup (8; 4 + 4\sqrt{33}]\)

Критерии оценивания:
2 балла — представлено полностью верное решение и получен правильный ответ.
1 балл — допущена вычислительная ошибка, не изменившая логику решения, либо в ответе неверно включены/исключены граничные точки.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Источник: ФИПИ