Решение:
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной:
\(\left\{\begin{matrix} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 2x \neq 1 \\ 2x^{-2} \neq 1 \end{matrix}\right.\) откуда получаем \(x \in ( 0 ; \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2} ; 1 ) \cup ( 1 ; \sqrt{2} ) \cup ( \sqrt{2} ; + \infty ) .\)
Преобразуем исходное выражение, используя свойства логарифмов:
\(\frac{( \log _{x} 2 + \log _{x} x^{- 1} ) \cdot ( \log _{x} 2 + \log _{x} x^{2} )}{\frac{1}{\log _{x} (2x)} \cdot \frac{1}{\log _{x} (2x^{-2})}} < 40\)
Упростим числитель и перенесем знаменатели в основную строку:
\(( \log _{x} 2 - 1 ) \cdot ( \log _{x} 2 + 2 ) \cdot \log _{x} (2x) \cdot \log _{x} (2x^{-2}) < 40\)
Разложим логарифмы произведения и степени:
\(( \log _{x} 2 - 1 ) \cdot ( \log _{x} 2 + 2 ) \cdot ( \log _{x} 2 + 1 ) \cdot ( \log _{x} 2 - 2 ) < 40 .\)
Для удобства решения введем новую переменную:
\(a = \log _{x} 2\)
Тогда неравенство примет вид:
\(( a - 1 ) ( a + 2 ) ( a + 1 ) ( a - 2 ) < 40\)
Сгруппируем скобки по формуле разности квадратов:
\(( a^{2} - 1 ) ( a^{2} - 4 ) < 40\)
\(a^{4} - 5 a^{2} + 4 - 40 < 0\)
\(a^{4} - 5 a^{2} - 36 < 0\)
Разложим левую часть на множители:
\(( a^{2} - 9 ) ( a^{2} + 4 ) < 0 .\)
Так как выражение \(a^{2} + 4\) всегда положительно, получаем:
\(a^{2} - 9 < 0\)

Следовательно, \(a \in ( - 3 ; 3 ) .\)
Перейдем обратно к переменной \(x\), учитывая ОДЗ:
\(\left\{\begin{matrix} -3 < \log _{x} 2 < 3 \\ x \in ( 0 ; \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2} ; 1 ) \cup ( 1 ; \sqrt{2} ) \cup ( \sqrt{2} ; + \infty ) \end{matrix}\right. \\\)
Решая систему логарифмических неравенств, находим:
\(\left\{\begin{matrix} x \in ( 0 ; 1 ) \cup ( \sqrt[3]{2} ; + \infty ) \\ x \in ( 0 ; \frac{1}{\sqrt[3]{2}} ) \cup ( 1 ; + \infty ) \\ x \in ( 0 ; \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2} ; 1 ) \cup ( 1 ; \sqrt{2} ) \cup ( \sqrt{2} ; + \infty ) \end{matrix}\right. \rightarrow\)
Итоговое множество решений:
\(x \in ( 0 ; \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2} ; \frac{1}{\sqrt[3]{2}} ) \cup ( \sqrt[3]{2} ; \sqrt{2} ) \cup ( \sqrt{2} ; + \infty ) .\)

Ответ: \(( 0 ; \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2} ; \frac{1}{\sqrt[3]{2}} ) \cup ( \sqrt[3]{2} ; \sqrt{2} ) \cup ( \sqrt{2} ; + \infty )\)

Источник: ФИПИ