Решим логарифмическое неравенство, предварительно определив область допустимых значений переменной \(x\).
Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: \[\begin{cases} 25-x^2 > 0 \\ x^2+x-20 > 0 \end{cases}\] Из первого условия получаем \(x \in (-5; 5)\), из второго — \(x \in (-\infty; -5) \cup (4; +\infty)\). Пересечение этих интервалов дает ОДЗ: \(x \in (4; 5)\).

Преобразуем исходное выражение, используя свойства логарифмов. Заметим, что основания логарифмов можно привести к общему виду. Так как на области определения обе части неравенства определены, перейдем к сравнению аргументов с учетом знака основания.
После потенцирования и упрощения получим рациональное неравенство: \[\frac{(x-4)(x+2)}{x-5} \leq 0\] Учитывая ограничения \(4 < x < 5\), проанализируем знаки множителей.
При \(x \in (4; 5)\) выражение \(x-4\) положительно, \(x+2\) положительно, а знаменатель \(x-5\) отрицателен. Следовательно, дробь всегда меньше нуля на данном промежутке.

Таким образом, решением неравенства является весь интервал, входящий в область допустимых значений.

Ответ: \((4; 5)\)

Критерии оценивания:
— 2 балла: решение полностью верно, получен правильный ответ.
— 1 балл: допущена единственная вычислительная ошибка, не изменившая логику решения, ИЛИ ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек.
— 0 баллов: решение не удовлетворяет вышеуказанным требованиям.

Источник: ФИПИ