Разбор решения:

Для начала преобразуем неравенство к более удобному виду. Заметим, что \(4^x = (2^x)^2\). Введем вспомогательную переменную \(t = 2^x\), где \(t > 0\). Тогда исходное выражение примет вид квадратного неравенства относительно \(t\):

\[t^2 - 14t + 40 \leq 0\]

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения \(t^2 - 14t + 40 = 0\). По теореме Виета или через дискриминант получаем:

\[t_1 = 4, \quad t_2 = 10\]

Следовательно, решением неравенства относительно \(t\) является промежуток:

\[4 \leq t \leq 10\]

Выполним обратную замену, перейдя к переменной \(x\):

\[4 \leq 2^x \leq 10\]

Представим границы в виде степеней с основанием 2:

\[2^2 \leq 2^x \leq 2^{\log_2 10}\]

Так как основание показательной функции \(2 > 1\), то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

\[2 \leq x \leq \log_2 10\]

Заметим, что \(\log_2 10 = \log_2 (2 \cdot 5) = 1 + \log_2 5\).

Ответ: \( [2; \log_2 10] \)

Критерии оценивания:
2 балла — представлено полное и корректное решение, получен правильный ответ.
1 балл — алгоритм решения верный, однако допущена одна арифметическая ошибка, либо ответ отличается от истинного только включением/исключением граничных точек.
0 баллов — решение не удовлетворяет вышеуказанным требованиям.

Источник: ФИПИ