Решение:

Дано неравенство: \[\frac{1}{(\log_{3} x + 1)^{2}} \leq (\log_{\sqrt{3}} x)^{2} + \log_{3} x^{4} + 1\]

Определим область допустимых значений для переменной \(x\):
\(\begin{cases} x > 0 \\ x^4 > 0 \\ (\log_3 x + 1)^2 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ \log_3 x \neq -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x \neq \frac{1}{3} \end{cases}\)
Таким образом, ОДЗ: \(x \in (0; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)\).

Преобразуем правую часть выражения, используя свойства логарифмов:
1) \((\log_{\sqrt{3}} x)^2 = (\log_{3^{1/2}} x)^2 = (2 \log_3 x)^2 = 4 \log_3^2 x\)
2) \(\log_3 x^4 = 4 \log_3 x\)

Перепишем исходное неравенство с учётом преобразований:
\[\frac{1}{(\log_3 x + 1)^2} \leq 4 \log_3^2 x + 4 \log_3 x + 1\]

Введём новую переменную \(t = \log_3 x\), где \(t \neq -1\). Получаем:
\[\frac{1}{(t + 1)^2} \leq 4t^2 + 4t + 1\] Заметим, что в правой части находится полный квадрат: \(4t^2 + 4t + 1 = (2t + 1)^2\).
\[\frac{1}{(t + 1)^2} \leq (2t + 1)^2\] Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:
\[\frac{(2t + 1)^2 (t + 1)^2 - 1}{(t + 1)^2} \geq 0\] Разложим числитель как разность квадратов \(((2t+1)(t+1))^2 - 1^2\):
\[\frac{((2t+1)(t+1) + 1)((2t+1)(t+1) - 1)}{(t + 1)^2} \geq 0\] Раскроем скобки внутри множителей числителя:
\[\frac{(2t^2 + 3t + 1 + 1)(2t^2 + 3t + 1 - 1)}{(t + 1)^2} \geq 0\] \[\frac{(2t^2 + 3t + 2)(2t^2 + 3t)}{(t + 1)^2} \geq 0\] Вынесем \(t\) за скобки во втором множителе:
\[\frac{t(2t + 3)(2t^2 + 3t + 2)}{(t + 1)^2} \geq 0\] Квадратный трёхчлен \(2t^2 + 3t + 2\) всегда положителен, так как его дискриминант \(D = 9 - 16 = -7 < 0\), а коэффициент при \(t^2\) положителен. Значит, знак выражения зависит только от остальных множителей.

Воспользуемся методом интервалов:

Решением относительно \(t\) будут промежутки: \(t \leq -\frac{3}{2}\) или \(t \geq 0\).

Вернёмся к переменной \(x\):
1) \(\log_3 x \leq -\frac{3}{2} \Rightarrow \log_3 x \leq \log_3 3^{-3/2} \Rightarrow x \leq \frac{1}{\sqrt{3^3}} \Rightarrow x \leq \frac{1}{3\sqrt{3}}\)
С учётом \(x > 0\), получаем \(0 < x \leq \frac{1}{3\sqrt{3}}\).
2) \(\log_3 x \geq 0 \Rightarrow \log_3 x \geq \log_3 1 \Rightarrow x \geq 1\).

Оба найденных промежутка полностью входят в ОДЗ (точка \(x = \frac{1}{3}\) не попадает в эти интервалы, так как \(\frac{1}{3\sqrt{3}} < \frac{1}{3}\)).

Ответ: \(x \in (0; \frac{1}{3\sqrt{3}}] \cup [1; +\infty)\)

Источник: ФИПИ