Разбор решения:
Дано неравенство: \(\log _{4} ((x - 5)(x^{2} - 2x - 15)) + 1 \geq 0{,}5 \log _{2} (x - 5)^{2}\)

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
\(\begin{cases} (x - 5)(x^{2} - 2x - 15) > 0 \\ (x - 5)^{2} > 0 \end{cases}\)
Разложим квадратный трёхчлен на множители: \(x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)\).
Тогда система примет вид:
\(\begin{cases} (x - 5)^2 (x + 3) > 0 \\ (x - 5)^2 > 0 \end{cases}\)
Решим систему методом интервалов:
Получаем ограничения для переменной: \(x \in (-3; 5) \cup (5; +\infty)\).

Преобразуем исходное неравенство, приведя логарифмы к основанию \(4\):
Заметим, что \(0{,}5 \log_{2} (x - 5)^{2} = \log_{2^2} (x - 5)^{2} = \log_{4} (x - 5)^{2}\).
Представим единицу как \(\log_{4} 4\):
\(\log_{4} ((x - 5)^{2} (x + 3)) + \log_{4} 4 \geq \log_{4} (x - 5)^{2}\)
Используя свойство суммы логарифмов, объединим их в левой части:
\(\log_{4} (4(x - 5)^{2} (x + 3)) \geq \log_{4} (x - 5)^{2}\)
Так как основание логарифма \(4 > 1\), переходим к сравнению аргументов без изменения знака неравенства:
\(4(x - 5)^{2} (x + 3) \geq (x - 5)^{2}\)
Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель \((x - 5)^{2}\) за скобки:
\((x - 5)^{2} (4(x + 3) - 1) \geq 0\)
\((x - 5)^{2} (4x + 12 - 1) \geq 0\)
\((x - 5)^{2} (4x + 11) \geq 0\)

Решением данного алгебраического неравенства является множество:
\(x \in [ -2{,}75 ; +\infty )\)

Для нахождения итогового ответа пересечём полученное решение с ОДЗ:

В итоге получаем: \(x \in [ -2{,}75 ; 5 ) \cup ( 5 ; +\infty ) .\)

Критерии оценивания:
2 балла — получен полностью верный и обоснованный ответ.
1 балл — ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка, либо в ответе лишние/недостающие точки из-за нестрогих границ.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: \(x \in [ - \frac{11}{4} ; 5 ) \cup ( 5 ; + \infty )\)

Источник: ФИПИ