Решение:

Рассмотрим исходное неравенство:
\(\log_{100} \left((x - 2)(x^2 + 5x - 14)\right) + 1 \geq 0{,}5 \lg (x - 2)^2\)

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

\(\begin{cases} (x - 2)(x^2 + 5x - 14) > 0 \\ (x - 2)^2 > 0 \end{cases}\)

Разложим квадратный трёхчлен \(x^2 + 5x - 14\) на множители: \(x^2 + 5x - 14 = (x - 2)(x + 7)\).
Тогда система примет вид:
\(\begin{cases} (x - 2)^2 (x + 7) > 0 \\ (x - 2)^2 > 0 \end{cases}\)

Решим данную систему методом интервалов:
Отсюда получаем ограничения для переменной: \(x \in (-7; 2) \cup (2; +\infty)\).

Преобразуем неравенство, приведя логарифмы к основанию \(100\). Заметим, что \(0{,}5 \lg (x - 2)^2 = \lg |x - 2| = \log_{100} (x - 2)^2\), а единицу представим как \(\log_{100} 100\):

\(\log_{100} \left((x - 2)^2 (x + 7)\right) + \log_{100} 100 \geq \log_{100} (x - 2)^2\)
\(\log_{100} \left(100 \cdot (x - 2)^2 (x + 7)\right) \geq \log_{100} (x - 2)^2\)

Так как основание логарифма \(100 > 1\), переходим к сравнению аргументов без изменения знака неравенства:

\(100(x - 2)^2 (x + 7) \geq (x - 2)^2\)
\(100(x - 2)^2 (x + 7) - (x - 2)^2 \geq 0\)
\((x - 2)^2 (100(x + 7) - 1) \geq 0\)
\((x - 2)^2 (100x + 700 - 1) \geq 0\)
\((x - 2)^2 (100x + 699) \geq 0\)

Решением этого неравенства является множество \(x \in [-\frac{699}{100}; +\infty)\).

Теперь сопоставим полученный результат с ОДЗ:

Пересечение этих множеств даёт итоговый результат:
\(x \in [ - 6{,}99 ; 2 ) \cup ( 2 ; + \infty ) .\)

Ответ: \(x \in [ - 6{,}99 ; 2 ) \cup ( 2 ; + \infty )\)

Источник: ФИПИ