Ход решения:
\(\log _{25} ( (x - 4) (x^{2} - 2 x - 8) ) + 1 \geq 0{,}5 \log _{5} (x - 4)^{2}\)
Найдём область допустимых значений (ОДЗ):
\(\left\{\begin{matrix} (x - 4) (x^{2} - 2 x - 8) > 0 \\ (x - 4)^{2} > 0 \end{matrix}\right.\)
Разложим квадратный трёхчлен на множители: \(x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)\). Тогда система примет вид:
\(\left\{\begin{matrix} (x - 4)^2 (x + 2) > 0 \\ (x - 4)^2 > 0 \end{matrix}\right.\)

Следовательно, ограничения на переменную: \(x \in ( - 2 ; 4 ) \cup ( 4 ; + \infty ) .\)

Преобразуем неравенство, приведя логарифмы к основанию \(25\):
\(\log _{25} ( (x - 4)^{2} (x + 2) ) + \log _{25} 25 \geq \log _{25} (x - 4)^{2}\)
Используя свойство суммы логарифмов, получаем:
\(\log _{25} ( 25 (x - 4)^{2} (x + 2) ) \geq \log _{25} (x - 4)^{2}\)
Так как основание \(25 > 1\), переходим к сравнению аргументов:
\((x - 4)^{2} (25x + 50) \geq (x - 4)^{2}\)
Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
\((x - 4)^{2} (25x + 50) - (x - 4)^{2} \geq 0\)
\((x - 4)^{2} (25x + 50 - 1) \geq 0\)
\((x - 4)^{2} (25x + 49) \geq 0\)
Решением данного неравенства является множество: \(x \in [ - \frac{49}{25} ; + \infty ) .\)

Теперь сопоставим полученный результат с ОДЗ:

Итоговое множество решений: \(x \in [ - 1{,}96 ; 4 ) \cup ( 4 ; + \infty ) .\)

Критерии оценивания:
— 2 балла: получен полностью верный и обоснованный ответ.
— 1 балл: допущена одна вычислительная ошибка при верном алгоритме, либо ответ отличается от правильного только включением/исключением граничных точек.
— 0 баллов: решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: \(x \in [ - \frac{49}{25} ; 4 ) \cup ( 4 ; + \infty )\)

Источник: ФИПИ