Решение:
Для начала определим область допустимых значений переменной. Правая часть исходного неравенства имеет смысл, когда аргумент логарифма положителен, то есть при \(x < -5\) или \(x > -\frac{35}{8}\).
Заметим, что выражение \(8x^2 + 7\) всегда больше нуля независимо от значения \(x\). Следовательно, на найденной области определения мы можем перейти к сравнению аргументов логарифмов (учитывая, что основания логарифмов равны и больше 1):
\[\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} \geq \frac{8x + 35}{x + 5}\]
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю:
\[\frac{(8x^2 + 7)(x + 5) - (8x + 35)(x^2 + x + 1)}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \geq 0\]
Раскрыв скобки в числителе, получим:
\[\frac{8x^3 + 40x^2 + 7x + 35 - (8x^3 + 8x^2 + 8x + 35x^2 + 35x + 35)}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \geq 0\]
После приведения подобных слагаемых неравенство примет вид:
\[\frac{-3x^2 - 36x}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \geq 0\]
Разделим обе части на \(-3\), меняя знак неравенства, и разложим числитель на множители:
\[\frac{x(x + 12)}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \leq 0\]
Так как дискриминант квадратного трехчлена \(x^2 + x + 1\) отрицателен (\(D = 1 - 4 = -3\)), это выражение всегда положительно. Тогда решение последнего неравенства методом интервалов дает:
\(x \leq -12\) или \(-5 < x \leq 0\).
С учетом условий \(x < -5\) и \(x > -\frac{35}{8}\), окончательно находим подходящие промежутки:
\(x \in (-\infty; -12]\) и \(x \in (-\frac{35}{8}; 0]\).

Критерии оценивания:
Верный и обоснованный ответ — 2 балла.
Если решение в целом верно, но из ответа ошибочно исключены точки -12 или 0, либо допущена одна арифметическая ошибка при правильном алгоритме решения — 1 балл.
В остальных случаях — 0 баллов.

Ответ: \((-\infty; -12]; (-\frac{35}{8}; 0]\)

Источник: ФИПИ