Решение:
Для начала определим область допустимых значений переменной. Выражения под знаками логарифмов должны быть положительными, а основание переменного логарифма — положительным и отличным от единицы: \(2 - x > 0\), \(x > 0\) и \(x \neq 1\). Таким образом, \(x \in (0; 1) \cup (1; 2)\).
Рассмотрим поведение функций на полученных интервалах:

1) Если \(x \in (0; 1)\), то выполняются соотношения \(\log_{15} x < \log_{25} x\) и \(\log_{9} (2 - x) > \log_{15} (2 - x)\). В этом случае значение левой части неравенства будет отрицательным, что заведомо меньше положительного числа \(\log_{25} 9\).
2) Если \(x \in (1; 2)\), то имеем \(\log_{15} x > \log_{25} x\), в то время как \(\log_{9} (2 - x) < \log_{15} (2 - x)\). Следовательно, левая часть снова принимает отрицательные значения и удовлетворяет условию, так как она меньше \(\log_{25} 9\).
Следовательно, всё множество допустимых значений \(x\) является решением данной задачи.

Критерии оценивания:
— 2 балла: получен полностью верный и обоснованный ответ.
— 1 балл: ход решения правильный, но допущена одна арифметическая ошибка, повлиявшая на итоговый результат.
— 0 баллов: решение не удовлетворяет указанным выше требованиям.

Ответ: \((0; 1) \cup (1; 2)\)

Источник: ФИПИ