Решение:
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла и не обращается в ноль. Таким образом, искомые значения \(x\) должны удовлетворять уравнению \(9x^{2} - a^{2} = 0\) при соблюдении ограничения \(x^{2} + 8x + 16 - a^{2} \neq 0\).
Разложим выражение в числителе на множители: \(9x^{2} - a^{2} = (3x - a)(3x + a)\). На координатной плоскости \(Oxa\) уравнение \((3x - a)(3x + a) = 0\) представляет собой две пересекающиеся в начале координат прямые \(l_1: a = 3x\) и \(l_2: a = -3x\). При \(a = 0\) эти прямые дают единственное решение \(x = 0\), а при любом \(a \neq 0\) мы получаем два различных корня по \(x\).
Теперь разложим выражение из условия отличия знаменателя от нуля: \(x^{2} + 8x + 16 - a^{2} = (x + 4)^{2} - a^{2} = (x + 4 - a)(x + 4 + a)\). Условие того, что знаменатель равен нулю, соответствует паре прямых \(m_1: a = x + 4\) и \(m_2: a = -x - 4\).
Чтобы понять, при каких значениях параметра \(a\) корни числителя «выкалываются» знаменателем, найдём точки пересечения прямых \(l_1, l_2\) с прямыми \(m_1, m_2\).
1) Найдём пересечение \(l_1\) и \(m_1\), решив систему: \[\begin{cases} a = 3x \\ a = x + 4 \end{cases} \Rightarrow 3x = x + 4 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ a = 6 \end{cases}\] Следовательно, при \(a = 6\) один из корней числителя совпадает с корнем знаменателя.
2) Найдём пересечение \(l_1\) и \(m_2\): \[\begin{cases} a = 3x \\ a = -x - 4 \end{cases} \Rightarrow 3x = -x - 4 \Rightarrow 4x = -4 \Rightarrow \begin{cases} x = -1 \\ a = -3 \end{cases}\] Значит, при \(a = -3\) один корень также посторонний.
3) Найдём пересечение \(l_2\) и \(m_1\): \[\begin{cases} a = -3x \\ a = x + 4 \end{cases} \Rightarrow -3x = x + 4 \Rightarrow -4x = 4 \Rightarrow \begin{cases} x = -1 \\ a = 3 \end{cases}\] То есть при \(a = 3\) один из корней не подходит.
4) Найдём пересечение \(l_2\) и \(m_2\): \[\begin{cases} a = -3x \\ a = -x - 4 \end{cases} \Rightarrow -3x = -x - 4 \Rightarrow -2x = -4 \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ a = -6 \end{cases}\] Таким образом, при \(a = -6\) один корень исключается.
Заметим, что при \(a = -3\) и \(a = 3\) «выкалывается» только один из двух корней числителя (так как в этих точках пересекаются только две прямые, а не три), поэтому уравнение всё равно будет иметь два корня. Однако, исходя из структуры задачи и анализа исключаемых точек, условие \(x^{2} + 8x + 16 - a^{2} \neq 0\) нарушается для одного из корней \(9x^{2} - a^{2} = 0\) в точках \(a = \pm 6\) и \(a = \pm 3\). При \(a = 0\) уравнение имеет всего один корень \(x = 0\).
Следовательно, ровно два различных решения исходное уравнение имеет при всех \(a\), кроме \(0, 6, -6, 3, -3\). Однако, перепроверив точки пересечения, мы видим, что при \(a = 3\) и \(a = -3\) один корень выбывает, но второй остается, и так как изначально их было два, остается ровно один? Нет, при \(a \neq 0\) у нас всегда два потенциальных корня \(x = a/3\) и \(x = -a/3\). Если один из них совпадает с корнем знаменателя, остается только один корень. Значит, значения \(a = \pm 3\) и \(a = \pm 6\) должны быть исключены, как и \(a = 0\).
Итого, два корня будет при: \(a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup (6; +\infty)\).

Критерии оценивания:
4 балла — Полное верное решение и ответ.
3 балла — Решение верно, но в ответ ошибочно включена точка \(a = 0\).
2 балла — Рассмотрен хотя бы один случай, ответ отличается от верного включением точек \(\pm 6, 0, 3\) или \(\pm 3, 0, 6\), либо допущена одна вычислительная ошибка при верном алгоритме.
1 балл — Задача правильно сведена к анализу расположения прямых на плоскости.
0 баллов — Решение не соответствует указанным критериям.

Ответ: \(a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup (6; +\infty)\)

Источник: ФИПИ