Решение:
Для начала преобразуем данное неравенство, представив аргументы логарифмов в виде произведений:
\(\log _{3} \left(( 2 - x ) \left(x^{2} + 5\right)\right) \geq \log _{3} \left(( 2 - x ) ( 3 - x )\right) + \log _{3} ( 4 - x ) .\)
Воспользуемся свойством логарифма произведения и разложим выражения:
\(\log _{3} ( 2 - x ) + \log _{3} \left(x^{2} + 5\right) \geq \log _{3} ( 2 - x ) + \log _{3} ( 3 - x ) + \log _{3} ( 4 - x ) .\)
Определим область допустимых значений. Исходя из условия положительности аргументов, получаем ограничение \(x < 2\). При соблюдении этого условия мы можем упростить неравенство, вычтя \(\log _{3} ( 2 - x )\) из обеих частей:
\(\log _{3} \left(x^{2} + 5\right) \geq \log _{3} \left(( 3 - x ) ( 4 - x )\right) .\)
Так как основание логарифма \(3 > 1\), переходим к сравнению аргументов с сохранением знака:
\(x^{2} + 5 \geq ( 3 - x ) ( 4 - x ) .\)
Раскроем скобки в правой части и приведем подобные слагаемые:
\(x^{2} + 5 \geq x^{2} - 7 x + 12 ;\)
\(7 x \geq 7 ,\) что дает нам \(x \geq 1 .\)
Сопоставив полученный результат с начальным условием \(x < 2\), находим итоговое множество решений: \(1 \leq x < 2 .\)

Обоснованно получен верный ответ — 2 балла
Если в ответе ошибочно исключена точка 1 или допущена одна вычислительная ошибка при верном алгоритме решения — 1 балл
В остальных случаях, не подходящих под критерии выше — 0 баллов

Ответ: \([ 1 ; 2 )\)

Источник: ФИПИ