Решение:
Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель отличен от него: \(4x^2 - a^2 = 0\) при условии, что \(x^2 + 6x + 9 - a^2 \neq 0\).
Разложим выражение в числителе на множители: \((2x - a)(2x + a) = 0\). В системе координат \(Oxa\) это уравнение описывает две прямые: \(l_1: a = 2x\) и \(l_2: a = -2x\). Эти прямые пересекаются в начале координат, поэтому при \(a = 0\) уравнение имеет единственный корень, а при любых \(a \neq 0\) — два различных корня.
Теперь проанализируем условие для знаменателя. Выражение \(x^2 + 6x + 9 - a^2\) можно представить как \((x + 3)^2 - a^2\), что раскладывается в произведение \((x + 3 - a)(x + 3 + a)\). Таким образом, знаменатель обращается в нуль на прямых \(m_1: a = x + 3\) и \(m_2: a = -x - 3\).
Чтобы найти значения параметра, при которых корни числителя совпадают с корнями знаменателя (и, следовательно, являются посторонними), найдем точки пересечения прямых \(l_1, l_2\) с прямыми \(m_1, m_2\).
1) Пересечение \(l_1\) и \(m_1\):
\[\begin{cases} a = 2x \\ a = x + 3 \end{cases} \Rightarrow 2x = x + 3 \Rightarrow x = 3, a = 6.\]
Точка пересечения — \((3; 6)\).
2) Пересечение \(l_1\) и \(m_2\):
\[\begin{cases} a = 2x \\ a = -x - 3 \end{cases} \Rightarrow 2x = -x - 3 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1, a = -2.\]
Точка пересечения — \((-1; -2)\).
3) Пересечение \(l_2\) и \(m_1\):
\[\begin{cases} a = -2x \\ a = x + 3 \end{cases} \Rightarrow -2x = x + 3 \Rightarrow -3x = 3 \Rightarrow x = -1, a = 2.\]
Точка пересечения — \((-1; 2)\).
4) Пересечение \(l_2\) и \(m_2\):
\[\begin{cases} a = -2x \\ a = -x - 3 \end{cases} \Rightarrow -2x = -x - 3 \Rightarrow -x = -3 \Rightarrow x = 3, a = -6.\]
Точка пересечения — \((3; -6)\).
Таким образом, при значениях \(a \in \{-6; -2; 2; 6\}\) один из корней числителя зануляет знаменатель и должен быть исключен. При \(a = 0\) уравнение имеет только один корень. Во всех остальных случаях уравнение будет иметь ровно два различных решения.
Следовательно, искомые значения параметра \(a\) — это все действительные числа, кроме \(0, \pm 2, \pm 6\).

Критерии оценивания:
4 балла — Получен верный ответ с полным обоснованием.
3 балла — Ход решения полностью верен, но в итоговый ответ ошибочно включена точка \(a = 0\).
2 балла — Верно исследован хотя бы один случай, и ответ отличается от правильного только включением точек \(a = -6, a = 0, a = 2\) или точек \(a = -2, a = 0, a = 6\). Также ставится при наличии вычислительной ошибки, не влияющей на общую логику решения.
1 балл — Задача правильно сведена к анализу взаимного расположения прямых на плоскости.
0 баллов — Решение не соответствует указанным выше критериям.

Ответ: \(a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 6) \cup (6; +\infty)\)

Источник: ФИПИ