Решение:
Для начала определим область допустимых значений переменной. Логарифмируемые выражения должны быть положительными, что выполняется при условиях \(x < -5\) и \(x > - \frac{35}{8}.\)

Заметим, что квадратный трёхчлен \(8x^2 + 7\) всегда положителен при любых действительных \(x\). С учётом ОДЗ исходное неравенство можно переписать в виде:

\[\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} \geq \frac{8x + 35}{x + 5};\]

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[\frac{(8x^2 + 7)(x + 5) - (8x + 35)(x^2 + x + 1)}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \geq 0;\]

Раскрыв скобки в числителе, получим:

\[\frac{8x^3 + 40x^2 + 7x + 35 - (8x^3 + 8x^2 + 8x + 35x^2 + 35x + 35)}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \geq 0;\]

После приведения подобных слагаемых неравенство упрощается до:

\[\frac{-3x^2 - 36x}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \geq 0;\]

Разделим на \(-3\), меняя знак неравенства, и разложим числитель на множители:

\[\frac{3x(x + 12)}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \leq 0.\]

Так как дискриминант выражения \(x^2 + x + 1\) отрицателен (\(D = 1 - 4 = -3\)), данный трёхчлен всегда принимает положительные значения. Следовательно, знак дроби зависит только от остальных множителей. Методом интервалов находим решение: \(x \leq -12\) или \(-5 < x \leq 0.\)

Сопоставим полученные промежутки с условиями \(x < -5\) и \(x > -\frac{35}{8}\). В результате пересечения получаем итоговые интервалы: \(x \in (-\infty; -12]\) и \(x \in (-\frac{35}{8}; 0].\)

Ответ: \((-\infty; -12]; (-\frac{35}{8}; 0].\)

Источник: ФИПИ