Решение:
Исходное неравенство имеет вид:
\(\frac{1}{\log _{3} x + 4} + \frac{2}{\log _{3} ( 3 x )} \cdot \left(\frac{2}{\log _{3} x + 4} - 1\right) \leq 0\)
Воспользуемся свойством логарифма произведения во втором знаменателе:
\(\frac{1}{\log _{3} x + 4} + \frac{2}{1 + \log _{3} x} \cdot \left(\frac{2}{\log _{3} x + 4} - 1\right) \leq 0\)
Для упрощения вычислений введем новую переменную, пусть \(\log _{3} x = t\). Тогда выражение примет вид:
\(\frac{1}{t + 4} + \frac{2}{1 + t} \cdot \left(\frac{2}{t + 4} - 1\right) \leq 0\)
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
\(\frac{1}{t + 4} + \frac{2}{t + 1} \cdot \left(\frac{2 - (t + 4)}{t + 4}\right) \leq 0\)
\(\frac{1}{t + 4} + \frac{2 \cdot (- t - 2)}{(t + 1)(t + 4)} \leq 0\)
Раскроем скобки в числителе второй дроби:
\(\frac{1}{t + 4} + \frac{- 2t - 4}{(t + 1)(t + 4)} \leq 0\)
Теперь приведем обе дроби к общему знаменателю \((t + 1)(t + 4)\):
\(\frac{(t + 1) - 2t - 4}{(t + 1)(t + 4)} \leq 0\)
Упростим числитель:
\(\frac{- t - 3}{(t + 1)(t + 4)} \leq 0\)
Найдем критические точки. Числитель равен нулю при \(t = -3\). Знаменатель обращается в ноль при \(t = -1\) и \(t = -4\), эти точки будут выколотыми.

Согласно методу интервалов, решением относительно \(t\) являются промежутки:
\(- 4 < t \leq - 3\) или \(t > - 1\)
Выполним обратную подстановку, учитывая, что \(t = \log _{3} x\):
1) Для первого промежутка:
\(- 4 < \log _{3} x \leq - 3\)
\(\log _{3} 3^{- 4} < \log _{3} x \leq \log _{3} 3^{- 3}\)
\(\log _{3} \frac{1}{81} < \log _{3} x \leq \log _{3} \frac{1}{27}\)
Так как основание логарифма \(3 > 1\), знаки неравенства сохраняются:
\(\frac{1}{81} < x \leq \frac{1}{27}\), что соответствует интервалу \(x \in ( \frac{1}{81} ; \frac{1}{27} ]\).
2) Для второго промежутка:
\(\log _{3} x > - 1\)
\(\log _{3} x > \log _{3} 3^{- 1}\)
\(x > \frac{1}{3}\), что соответствует интервалу \(x \in (\frac{1}{3} ; + \infty)\).

Ответ: \(( \frac{1}{81} ; \frac{1}{27} ] \cup (\frac{1}{3} ; + \infty)\)

Источник: ФИПИ