Решение:
Для начала определим область допустимых значений переменной. Логарифмируемое выражение должно быть строго положительным, поэтому \(x + 7 > 0\) и \(8x + 49 > 0\), что дает нам условия \(x > -7\) и \(x > -6,125\). Однако, учитывая структуру исходного неравенства, оно определено при \(x < -7\) или \(x > -\frac{49}{8}\).
Заметим, что знаменатель \(8x^2 + 7\) всегда больше нуля для любого действительного \(x\). С учетом ограничений на переменную, перейдем к сравнению аргументов логарифмов (или потенцированию), что приводит неравенство к виду:

\[\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} \geq \frac{8x + 49}{x + 7}\]

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

\[\frac{(8x^2 + 7)(x + 7) - (8x + 49)(x^2 + x + 1)}{(x + 7)(x^2 + x + 1)} \geq 0\]

Раскроем скобки в числителе:

\[\frac{8x^3 + 56x^2 + 7x + 49 - (8x^3 + 8x^2 + 8x + 49x^2 + 49x + 49)}{(x + 7)(x^2 + x + 1)} \geq 0\]

После приведения подобных слагаемых получаем:

\[\frac{-x^2 - 50x}{(x + 7)(x^2 + x + 1)} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x(x + 50)}{(x + 7)(x^2 + x + 1)} \leq 0\]

Так как дискриминант квадратного трехчлена \(x^2 + x + 1\) отрицателен (\(D = 1 - 4 = -3\)), это выражение всегда положительно и не влияет на знак дроби. Решая методом интервалов, находим промежутки: \(x \leq -50\) и \(-7 < x \leq 0\).
Сопоставим полученные результаты с условиями \(x < -7\) и \(x > -\frac{49}{8}\):

При \(x < -7\) решением является луч \(x \leq -50\).
При \(x > -\frac{49}{8}\) решением является полуинтервал \(-\frac{49}{8} < x \leq 0\).

Объединяя эти множества, получаем итоговый результат.

Ответ: \((-\infty; -50] \cup (-\frac{49}{8}; 0]\).

Источник: ФИПИ