Решение:
Для начала определим область допустимых значений переменной. Логарифмируемое выражение в правой части должно быть положительным, что выполняется при \(x < -10\) или \(x > -\frac{160}{17}\).
Заметим, что квадратный трёхчлен \(17x^2 + 16\) всегда больше нуля при любом \(x\). С учётом ОДЗ перейдём от логарифмического неравенства к рациональному:

\[\frac{17x^2 + 16}{x^2 + x + 1} \geq \frac{17x + 160}{x + 10}\]

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

\[\frac{(17x^2 + 16)(x + 10) - (17x + 160)(x^2 + x + 1)}{(x + 10)(x^2 + x + 1)} \geq 0;\] \[\frac{17x^3 + 170x^2 + 16x + 160 - (17x^3 + 17x^2 + 17x + 160x^2 + 160x + 160)}{(x + 10)(x^2 + x + 1)} \geq 0;\] \[\frac{17x^3 + 170x^2 + 16x + 160 - 17x^3 - 177x^2 - 177x - 160}{(x + 10)(x^2 + x + 1)} \geq 0;\] \[\frac{-7x^2 - 161x}{(x + 10)(x^2 + x + 1)} \geq 0.\]

Разделим обе части на \(-7\) (сменив знак неравенства) и разложим числитель на множители. Учтём, что дискриминант выражения \(x^2 + x + 1\) отрицателен, значит, этот множитель всегда положителен и не влияет на знак дроби:

\[\frac{x(x + 23)}{x + 10} \leq 0.\]

Решая методом интервалов, находим промежутки: \(x \leq -23\) и \(-10 < x \leq 0\).
Теперь сопоставим полученный результат с условиями \(x < -10\) и \(x > -\frac{160}{17}\). В итоге получаем: \(x \in (-\infty; -23]\) и \(x \in (-\frac{160}{17}; 0]\).

Ответ: \((-\infty; -23] \cup (-\frac{160}{17}; 0]\).

Источник: ФИПИ