Решение:
Дано неравенство: \(\log _{4} ( 6 - 6 x ) \geq \log _{4} ( x^{2} - 5 x + 4 ) - \log _{4} ( x + 3 )\).
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
\(\left\{\begin{matrix} 6 - 6 x > 0 \\ x^{2} - 5 x + 4 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{matrix}\right.\)
Разберем каждое условие системы:
1) Из первого неравенства получаем \(6x < 6\), то есть \(x < 1\);
2) Для квадратного трехчлена \(x^{2} - 5 x + 4\) корнями являются \(x_{1} = 4\) и \(x_{2} = 1\). Следовательно, выражение положительно при \(x \in ( - \infty ; 1 ) \cup ( 4 ; + \infty )\);
3) Из последнего условия имеем \(x > - 3\).
Пересекая все интервалы, находим ОДЗ: \(x \in (- 3 ; 1)\).
Преобразуем правую часть исходного неравенства, используя свойство разности логарифмов:
\(\log _{4} ( 6 - 6 x ) \geq \log _{4} \frac{( x - 4 ) ( x - 1 )}{x + 3}\).
Так как основание логарифма \(4 > 1\), логарифмическая функция является возрастающей. Переходим к сравнению аргументов с сохранением знака неравенства:
\(6 - 6 x \geq \frac{( x - 4 ) ( x - 1 )}{x + 3}\).
Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем общий множитель за скобки, учитывая, что \(6 - 6x = -6(x - 1)\):
\(\frac{( x - 4 ) ( x - 1 )}{x + 3} + 6 ( x - 1 ) \leq 0\);
\(( x - 1 ) \left(\frac{x - 4}{x + 3} + 6\right) \leq 0\).
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
\(( x - 1 ) \left(\frac{x - 4 + 6(x + 3)}{x + 3}\right) \leq 0\);
\(\frac{( x - 1 ) ( 7 x + 14 )}{x + 3} \leq 0\).
Определим критические точки:
Числитель обращается в нуль при \(x = 1\) и \(x = - 2\).
Знаменатель обращается в нуль при \(x = - 3\) (точка разрыва).
Воспользуемся методом интервалов:

Решением данного рационального неравенства является множество \(x \in ( - \infty ; - 3 ) \cup [ - 2 ; 1 ]\).
Сопоставим полученный результат с найденной ранее областью допустимых значений \(x \in (- 3 ; 1)\).
Итоговый промежуток: \([ - 2 ; 1 )\).

Критерии оценивания:
2 балла — получен полностью верный и обоснованный ответ.
1 балл — ход решения верный, но ответ отличается от правильного из-за включения/исключения граничных точек или допущена одна вычислительная ошибка при сохранении логики решения.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: \([ - 2 ; 1 )\)

Источник: ФИПИ