Решение:
Найдём область допустимых значений (ОДЗ) переменной \(x\):
\[\left\{\begin{matrix} ( 3 - x ) ( x^{2} + 2 ) > 0 \\ x^{2} - 7 x + 12 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{matrix}\right.\]
Заметим, что выражение \(x^{2} + 2\) принимает только положительные значения при любых \(x\). Разложим квадратный трёхчлен во втором неравенстве на множители:
\[\left\{\begin{matrix} 3 - x > 0 \\ ( x - 3 ) ( x - 4 ) > 0 \\ x < 5 \end{matrix}\right.\]

Решая систему, получаем условия:
\[\left\{\begin{matrix} x < 3 \\ x < 3 \text{ или } x > 4 \\ x < 5 \end{matrix}\right.\]
Таким образом, ОДЗ: \(x \in ( - \infty ; 3 )\).
Преобразуем исходное неравенство, используя свойство суммы логарифмов \(\log _{a} b + \log _{a} c = \log _{a} (bc)\):
\[\log _{5} ( ( 3 - x ) ( x^{2} + 2 ) ) \geq \log _{5} ( ( x - 3 ) ( x - 4 ) ) + \log _{5} ( 5 - x )\]
\[\log _{5} ( ( 3 - x ) ( x^{2} + 2 ) ) \geq \log _{5} ( ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( 5 - x ) )\]
Так как логарифмическая функция с основанием \(5 > 1\) является возрастающей, переходим к сравнению аргументов:
\[( 3 - x ) ( x^{2} + 2 ) \geq ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( 5 - x )\]
Вынесем минус за скобки в левой части, чтобы выделить общий множитель \((x-3)\):
\[- ( x - 3 ) ( x^{2} + 2 ) \geq ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( 5 - x )\]
Перенесём все слагаемые в одну сторону и умножим на \(-1\), не забыв сменить знак неравенства:
\[( x - 3 ) ( x^{2} + 2 ) + ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( 5 - x ) \leq 0\]
Вынесем общий множитель \((x - 3)\) за скобки:
\[( x - 3 ) ( ( x^{2} + 2 ) + ( x - 4 ) ( 5 - x ) ) \leq 0\]
Раскроем внутренние скобки и приведём подобные слагаемые:
\[( x - 3 ) ( x^{2} + 2 + 5x - x^2 - 20 + 4x ) \leq 0\]
\[( x - 3 ) ( 9 x - 18 ) \leq 0\]
Разделим на 9 и получим:
\[( x - 3 ) ( x - 2 ) \leq 0\]

Решением данного неравенства является отрезок \(x \in [ 2 ; 3 ]\).
Сопоставим полученный результат с ОДЗ (в которой \(x < 3\)):
\(x \in [ 2 ; 3 ) .\)

Критерии оценивания:
2 балла — получен полностью верный ответ.
1 балл — ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек, ИЛИ допущена одна вычислительная ошибка, но логика решения верна.
0 баллов — решение не соответствует указанным критериям.

Ответ: \([ 2 ; 3 )\)

Источник: ФИПИ