Решение:
Найдём область допустимых значений (ОДЗ) переменной \(x\):
\[\begin{cases} (2 - x)(x^2 + 5) > 0 \\ x^2 - 5x + 6 > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases}\] Заметим, что выражение \(x^2 + 5\) всегда принимает положительные значения. Разложим квадратный трёхчлен во втором неравенстве на множители:
\[\begin{cases} 2 - x > 0 \\ (x - 2)(x - 3) > 0 \\ x < 4 \end{cases}\]

Система условий принимает вид:
\[\begin{cases} x < 2 \\ x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty) \\ x < 4 \end{cases}\] Пересечение этих интервалов даёт ОДЗ: \(x \in (-\infty; 2)\).
Перейдём к решению самого неравенства:
\(\log_{3} ((2 - x)(x^2 + 5)) \geq \log_{3} ((x - 2)(x - 3)) + \log_{3} (4 - x)\)
Используя свойство суммы логарифмов \(\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (bc)\), преобразуем правую часть:
\(\log_{3} ((2 - x)(x^2 + 5)) \geq \log_{3} ((x - 2)(x - 3)(4 - x))\)
Так как основание логарифма \(3 > 1\), логарифмическая функция возрастает, и мы можем перейти к сравнению аргументов без изменения знака неравенства:
\((2 - x)(x^2 + 5) \geq (x - 2)(x - 3)(4 - x)\)
Выразим левую часть через множитель \((x - 2)\):
\(-(x - 2)(x^2 + 5) \geq (x - 2)(x - 3)(4 - x)\)
Перенесём все слагаемые в одну сторону и умножим на \(-1\), не забыв сменить знак неравенства:
\((x - 2)(x^2 + 5) + (x - 2)(x - 3)(4 - x) \leq 0\)
Вынесем общий множитель \((x - 2)\) за скобки:
\((x - 2) \left( (x^2 + 5) + (x - 3)(4 - x) \right) \leq 0\)
Раскроем скобки внутри выражения:
\((x - 2) (x^2 + 5 + 4x - x^2 - 12 + 3x) \leq 0\)
Приведём подобные слагаемые:
\((x - 2)(7x - 7) \leq 0\)
Разделим на 7:
\((x - 2)(x - 1) \leq 0\)

Решением данного неравенства является отрезок \(x \in [1; 2]\).
Теперь сопоставим полученный результат с ОДЗ. Поскольку значение \(x = 2\) не входит в область допустимых значений, итоговым решением будет:
\(x \in [1; 2)\).

Критерии оценивания:
— Полное и обоснованное решение с верным ответом — 2 балла
— Допущена единственная вычислительная ошибка, либо ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек — 1 балл
— Решение не соответствует указанным требованиям — 0 баллов

Ответ: \([1; 2)\)

Источник: ФИПИ