Решение:
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
\(\begin{cases} \frac{1}{x} - 1 > 0 \\ \frac{1}{x} + 1 > 0 \\ 8x - 1 > 0 \end{cases}\)
Преобразуем дробные выражения:
\(\begin{cases} \frac{1 - x}{x} > 0 \\ \frac{1 + x}{x} > 0 \\ x > \frac{1}{8} \end{cases}\)

Решая каждое условие системы, получаем:
\(\begin{cases} x \in (0; 1) \\ x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty) \\ x > \frac{1}{8} \end{cases}\)
Пересечение этих интервалов дает итоговую ОДЗ: \(x \in \left(\frac{1}{8}; 1\right)\).

Перейдем к решению самого неравенства. Поскольку основание логарифма \(3\) больше единицы, логарифмическая функция является возрастающей. Это позволяет нам перейти к сравнению аргументов, сохраняя знак неравенства:
\(\begin{cases} \frac{1}{8} < x < 1 \\ \left(\frac{1}{x} - 1\right)\left(\frac{1}{x} + 1\right) \leq 8x - 1 \end{cases}\)
Воспользуемся формулой разности квадратов в левой части:
\(\frac{1}{x^2} - 1 \leq 8x - 1\)
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
\(\frac{1}{x^2} - 8x \leq 0\)
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{1 - 8x^3}{x^2} \leq 0\)
Разложим числитель как разность кубов:
\(\frac{(1 - 2x)(1 + 2x + 4x^2)}{x^2} \leq 0\)
Заметим, что квадратный трехчлен \(4x^2 + 2x + 1\) всегда положителен (так как его дискриминант \(D = 4 - 16 = -12 < 0\)), а \(x^2 > 0\) на всей ОДЗ. Следовательно, знак выражения зависит только от множителя \((1 - 2x)\):
\(\begin{cases} x \in \left(\frac{1}{8}; 1\right) \\ 1 - 2x \leq 0 \end{cases}\)
Откуда получаем:
\(\begin{cases} x \in \left(\frac{1}{8}; 1\right) \\ x \geq \frac{1}{2} \end{cases}\)
Объединяя эти условия, находим итоговое множество решений: \(x \in \left[\frac{1}{2}; 1\right)\).

Ответ: \([\frac{1}{2}; 1)\)

Источник: ФИПИ