Разбор решения:
Исходное неравенство: \(\left( 9^{x} - 3^{x + 1} \right)^{2} + 8 \cdot 3^{x + 1} < 8 \cdot 9^{x} + 20\).
Преобразуем степени, используя свойства \(9^x = (3^2)^x = 3^{2x}\) и \(3^{x+1} = 3 \cdot 3^x\):
\(\left( 3^{2x} - 3 \cdot 3^{x} \right)^{2} + 8 \cdot 3 \cdot 3^{x} < 8 \cdot 3^{2x} + 20\).
Введем новую переменную \(t = 3^{x}\), учитывая, что \(t > 0\).
Получаем неравенство относительно \(t\):
\((t^2 - 3t)^2 + 24t < 8t^2 + 20\).
Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем их:
\((t^2 - 3t)^2 - 8t^2 + 24t - 20 < 0\),
\((t^2 - 3t)^2 - 8(t^2 - 3t) - 20 < 0\).
Для упрощения сделаем еще одну замену: пусть \(y = t^2 - 3t\).
Тогда имеем квадратное неравенство: \(y^2 - 8y - 20 < 0\).
Разложим левую часть на множители: \((y - 10)(y + 2) < 0\).

Решением относительно \(y\) является интервал \(-2 < y < 10\).
Вернемся к переменной \(t\), перейдя к системе неравенств:
\(\begin{cases} t^2 - 3t > -2 \\ t^2 - 3t < 10 \end{cases}\)
Приведем каждое неравенство к стандартному виду:
\(\begin{cases} t^2 - 3t + 2 > 0 \\ t^2 - 3t - 10 < 0 \end{cases}\)
Разложим квадратные трехчлены на линейные множители:
\(\begin{cases} (t - 1)(t - 2) > 0 \\ (t - 5)(t + 2) < 0 \end{cases}\)

Находим пересечение решений системы:
\(\begin{cases} t \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty) \\ t \in (-2; 5) \end{cases}\)
С учетом условия \(t > 0\), получаем допустимые значения для \(t\):
\(t \in (0; 1) \cup (2; 5)\).
Выполним обратную замену для \(3^x\):
\(0 < 3^x < 1\) или \(2 < 3^x < 5\).
Решая эти простейшие показательные неравенства, находим \(x\):
\(x < 0\) или \(\log_3 2 < x < \log_3 5\).
Таким образом, \(x \in (-\infty; 0) \cup (\log_3 2; \log_3 5)\).

Критерии оценивания:
2 балла — решение полностью обосновано и получен верный ответ.
1 балл — допущена одна вычислительная ошибка, не влияющая на общую логику решения, ИЛИ в ответе неверно включены/исключены граничные точки.
0 баллов — решение не соответствует указанным выше требованиям.

Ответ: \((-\infty; 0) \cup (\log_3 2; \log_3 5)\)

Источник: ФИПИ