Разбор решения:
Исходное неравенство: \(16^{\frac{1}{x} - 1} - 4^{\frac{1}{x} - 1} - 2 \geq 0\).
Заметим, что \(16 = 4^2\), тогда выражение можно переписать в виде: \(\left(4^{\frac{1}{x} - 1}\right)^{2} - 4^{\frac{1}{x} - 1} - 2 \geq 0\).
Введем новую переменную \(t = 4^{\frac{1}{x} - 1}\), где \(t > 0\).
Получаем квадратное неравенство: \(t^{2} - t - 2 \geq 0\).
Для разложения левой части на множители найдем корни уравнения \(t^{2} - t - 2 = 0\):
Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2\).
Корни: \(t_{1} = \frac{1 + 3}{2} = 2\) и \(t_{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1\).
Следовательно, неравенство принимает вид: \((t - 2)(t + 1) \geq 0\).
Решим его относительно \(t\) с помощью метода интервалов:

Учитывая условие \(t > 0\), получаем решение: \(t \geq 2\).
Выполним обратную подстановку:
\(4^{\frac{1}{x} - 1} \geq 2\)
Приведем обе части к основанию \(2\):
\((2^2)^{\frac{1}{x} - 1} \geq 2^1\)
\(2^{\frac{2}{x} - 2} \geq 2^1\)
Так как основание \(2 > 1\), переходим к сравнению показателей:
\(\frac{2}{x} - 2 \geq 1\)
\(\frac{2}{x} - 3 \geq 0\)
Приведем к общему знаменателю: \(\frac{2 - 3x}{x} \geq 0\).
Определим критические точки: числитель равен нулю при \(x = \frac{2}{3}\), знаменатель не равен нулю при \(x \neq 0\).

Согласно распределению знаков на числовой прямой, решением является промежуток: \(x \in (0; \frac{2}{3}]\).

Критерии оценивания:
2 балла — решение полностью верно и обосновано.
1 балл — допущена одна вычислительная ошибка при верном алгоритме, либо неверно включены/исключены граничные точки.
0 баллов — решение не соответствует указанным выше требованиям.

Ответ: \((0; \frac{2}{3}]\)

Источник: ФИПИ