Разбор задачи:
Исходное уравнение имеет вид: \(| x^{2} - a^{2} | + 8 = | x + a | + 8 | x - a |\).
Воспользуемся свойством модуля произведения и разложим разность квадратов: \(| x - a | \cdot | x + a | + 8 - | x + a | - 8 | x - a | = 0\).
Сгруппируем слагаемые для вынесения общих множителей:
\(| x + a | ( | x - a | - 1 ) - 8 ( | x - a | - 1 ) = 0\).
Теперь вынесем общую скобку \(( | x - a | - 1 )\):
\(( | x - a | - 1 ) ( | x + a | - 8 ) = 0\).
Данное уравнение распадается на совокупность двух простейших уравнений с модулем:
\(| x - a | = 1\) или \(| x + a | = 8\).
Раскрывая модули, получаем четыре линейных уравнения, связывающих \(x\) и \(a\):
\(x - a = 1 \Rightarrow a = x - 1\)
\(x - a = -1 \Rightarrow a = x + 1\)
\(x + a = 8 \Rightarrow a = 8 - x\)
\(x + a = -8 \Rightarrow a = -x - 8\)

Критерии оценивания:
За полностью обоснованное решение и верный числовой ответ выставляется 4 балла.
Если ход рассуждений верен, но допущена единственная арифметическая ошибка или аргументация шагов неполная — 3 балла.
При наличии одной негрубой логической ошибки (не вычислительной) при верном направлении решения — 2 балла.
Если найдены лишь некоторые подходящие значения параметра или допущено более одной ошибки — 1 балл.
В остальных случаях, не подходящих под описание выше — 0 баллов.

Ответ: \(a \in ( - \infty ; - 8 ) \cup ( - 1 ; 1 ] \cup \{ 3{,}5 \} \cup \{ 4{,}5 \} \cup [ 8 ; + \infty )\)

Источник: ФИПИ