Разбор решения:
Рассмотрим исходное неравенство: \(\log _{11} \left(2 x^{2} + 1\right) + \log _{11} \left(\frac{1}{32 x} + 1\right) \geq \log _{11} \left(\frac{x}{16} + 1\right)\).
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):
\(\begin{cases} 2 x^{2} + 1 > 0 \\ \frac{1}{32 x} + 1 > 0 \\ \frac{x}{16} + 1 > 0 \\ 32 x \neq 0 \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ \frac{1+32x}{32x} > 0 \\ x > -16 \\ x \neq 0 \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -1/32) \cup (0; +\infty) \\ x > -16 \end{cases}\)
Таким образом, допустимые значения переменной: \(x \in (-16; -1/32) \cup (0; +\infty)\).

Перейдем к преобразованию неравенства. Используя свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием, объединим слагаемые в левой части:
\(\log _{11} \left( (2 x^{2} + 1) \cdot (\frac{1}{32x} + 1) \right) \geq \log _{11} \left(\frac{x}{16} + 1\right)\).
Так как основание логарифма \(11 > 1\), функция возрастает, и мы можем перейти к сравнению аргументов:
\((2 x^{2} + 1) \left(\frac{1}{32 x} + 1\right) \geq \frac{x}{16} + 1\).
Раскроем скобки слева:
\(\frac{2 x^{2}}{32 x} + 2 x^{2} + \frac{1}{32 x} + 1 \geq \frac{x}{16} + 1\).
Упростим выражение, сократив дробь и вычтя единицу из обеих частей:
\(\frac{x}{16} + 2 x^{2} + \frac{1}{32 x} \geq \frac{x}{16}\).
После сокращения на \(\frac{x}{16}\) получаем:
\(2 x^{2} + \frac{1}{32 x} \geq 0\).
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{64 x^{3} + 1}{32 x} \geq 0\).
Найдем критические точки. Числитель обращается в нуль при \(64x^3 = -1\), то есть \(x = -1/4\). Знаменатель обращается в нуль при \(x = 0\).
Применим метод интервалов для полученной рациональной дроби:
\(x \in (-\infty; -1/4] \cup (0; +\infty)\).

Теперь сопоставим полученное решение с найденной ранее областью допустимых значений:
\(\begin{cases} x \in (-\infty; -1/4] \cup (0; +\infty) \\ x \in (-16; -1/32) \cup (0; +\infty) \end{cases}\)
В результате пересечения множеств получаем итоговый интервал:
\(x \in (-16; -1/4] \cup (0; +\infty)\).

Ответ: \(x \in (-16; -1/4] \cup (0; +\infty)\)

Источник: ФИПИ