Решение:
Рассмотрим неравенство: \(\frac{\log _{3} ( 9 x ) \cdot \log _{4} ( 64 x )}{5 x^{2} - | x |} \leq 0\).
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а знаменатель не может равняться нулю:
\[\begin{cases} 9x > 0 \\ 64x > 0 \\ 5x^2 - |x| \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ |x|(5|x| - 1) \neq 0 \end{cases}\]
Так как \(x > 0\), то \(|x| = x\). Тогда условие \(x(5x - 1) \neq 0\) дает нам \(x \neq 0\) и \(x \neq \frac{1}{5}\).
Следовательно, ОДЗ: \(x \in (0; \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{5}; +\infty)\).

Преобразуем числитель, используя свойства логарифма произведения:
\(\log_3(9x) = \log_3 9 + \log_3 x = 2 + \log_3 x\)
\(\log_4(64x) = \log_4 64 + \log_4 x = 3 + \log_4 x\)
Неравенство принимает вид:
\[\frac{(2 + \log_3 x)(3 + \log_4 x)}{5x^2 - |x|} \leq 0\]
Для решения дробно-рационального неравенства рассмотрим два случая (когда знаки числителя и знаменателя противоположны):
1) \(\begin{cases} (2 + \log_3 x)(3 + \log_4 x) \leq 0 \\ 5x^2 - |x| > 0 \end{cases}\) или 2) \(\begin{cases} (2 + \log_3 x)(3 + \log_4 x) \geq 0 \\ 5x^2 - |x| < 0 \end{cases}\)

Разберем первый случай:
Для числителя: произведение неположительно, если множители имеют разные знаки.
\(\begin{cases} \log_3 x \leq -2 \\ \log_4 x \geq -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq \frac{1}{9} \\ x \geq \frac{1}{64} \end{cases} \implies x \in [\frac{1}{64}; \frac{1}{9}]\).
Второй вариант знаков в числителе (\(\log_3 x \geq -2\) и \(\log_4 x \leq -3\)) дает пустое множество, так как \(x \geq \frac{1}{9}\) и \(x \leq \frac{1}{64}\) несовместны.
Для знаменателя при \(x > 0\): \(5x^2 - x > 0 \implies x(5x - 1) > 0 \implies x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{5}; +\infty)\).
Пересечение условий первой системы: \(x \in [\frac{1}{64}; \frac{1}{9}] \cap (\frac{1}{5}; +\infty) = \emptyset\).

Разберем второй случай:
Числитель неотрицателен, если множители одного знака:
\(\begin{cases} \log_3 x \geq -2 \\ \log_4 x \geq -3 \end{cases} \implies x \geq \frac{1}{9}\) или \(\begin{cases} \log_3 x \leq -2 \\ \log_4 x \leq -3 \end{cases} \implies x \leq \frac{1}{64}\).
С учетом \(x > 0\), числитель \(\geq 0\) при \(x \in (0; \frac{1}{64}] \cup [\frac{1}{9}; +\infty)\).
Знаменатель отрицателен при \(x > 0\): \(5x^2 - x < 0 \implies x(5x - 1) < 0 \implies x \in (0; \frac{1}{5})\).
Для \(x < 0\) знаменатель \(5x^2 + x < 0\) дает \(x \in (-\frac{1}{5}; 0)\).

Объединяя, получаем интервал для знаменателя: \(x \in (-\frac{1}{5}; 0) \cup (0; \frac{1}{5})\).

Объединение результатов:
Нам нужно найти пересечение решений числителя и знаменателя для второй системы:
\[\begin{cases} x \in (-\infty; \frac{1}{64}] \cup [\frac{1}{9}; +\infty) \\ x \in (-\frac{1}{5}; 0) \cup (0; \frac{1}{5}) \end{cases}\]

Получаем: \(x \in (-\frac{1}{5}; 0) \cup (0; \frac{1}{64}] \cup [\frac{1}{9}; \frac{1}{5})\).
Наконец, учитывая условие ОДЗ (\(x > 0\)):
\(x \in (0; \frac{1}{64}] \cup [\frac{1}{9}; \frac{1}{5})\).

Ответ: \((0; \frac{1}{64}] \cup [\frac{1}{9}; \frac{1}{5})\)

Источник: ФИПИ