Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \(\log _{16} (x + 5) + \log _{(x^{2} + 10x + 25)} 2 \geq \frac{3}{4}\).
Заметим, что основание второго логарифма представляет собой полный квадрат: \(\log _{16} (x + 5) + \log _{((x + 5)^{2})} 2 \geq \frac{3}{4}\).

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
\(\begin{cases} x + 5 > 0 \\ (x + 5)^2 > 0 \\ (x + 5)^2 \neq 1 \end{cases}\)
Воспользуемся формулой перехода к новому основанию \(\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}\), выбрав в качестве \(c\) число \(16\):
\(\log _{16} (x + 5) + \frac{\log _{16} 2}{\log _{16} (x + 5)^{2}} \geq \frac{3}{4}\)

Уточним условия для переменной \(x\):
\(\begin{cases} x > -5 \\ x \neq -5 \\ x \neq -6 \\ x \neq -4 \end{cases}\)
Преобразуем выражение, учитывая, что \(\log_{16} 2 = \frac{1}{4}\) и вынося показатель степени из основания логарифма:
\(\log _{16} (x + 5) + \frac{1}{4} : (2 \log _{16} (x + 5)) \geq \frac{3}{4}\)
После упрощения получаем:
\(\log _{16} (x + 5) + \frac{1}{8 \log _{16} (x + 5)} \geq \frac{3}{4}\)

С учетом ОДЗ переменная должна принадлежать множеству: \(x \in (-5; -4) \cup (-4; +\infty)\).

Для решения введем замену переменной. Пусть \(t = \log _{16} (x + 5)\).
Тогда неравенство примет вид:
\(t + \frac{1}{8t} \geq \frac{3}{4}\)
Перенесем всё в левую часть и приведем к общему знаменателю:
\(t + \frac{1}{8t} - \frac{3}{4} \geq 0\)
\(\frac{8t^2 - 6t + 1}{8t} \geq 0\)

Найдем критические точки, приравняв числитель и знаменатель к нулю:
\(8t^2 - 6t + 1 = 0 \Rightarrow t_1 = \frac{1}{4}, t_2 = \frac{1}{2}\)
\(8t = 0 \Rightarrow t = 0\)

Решением относительно \(t\) будут промежутки: \(t \in (0; \frac{1}{4}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)\).

Вернемся к переменной \(x\), решив совокупность систем:
\(\left[ \begin{gathered} \begin{cases} t > 0 \\ t \leq \frac{1}{4} \end{cases} \\ t \geq \frac{1}{2} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} \log _{16} (x + 5) > 0 \\ \log _{16} (x + 5) \leq \frac{1}{4} \end{cases} \\ \log _{16} (x + 5) \geq \frac{1}{2} \end{gathered} \right.\)

1) \(\log _{16} (x + 5) > 0 \Rightarrow x + 5 > 1 \Rightarrow x > -4\)
2) \(\log _{16} (x + 5) \leq \frac{1}{4} \Rightarrow x + 5 \leq 16^{\frac{1}{4}} \Rightarrow x + 5 \leq 2 \Rightarrow x \leq -3\)
3) \(\log _{16} (x + 5) \geq \frac{1}{2} \Rightarrow x + 5 \geq 16^{\frac{1}{2}} \Rightarrow x + 5 \geq 4 \Rightarrow x \geq -1\)

Объединяя результаты, получаем:
\(\left[ \begin{gathered} -4 < x \leq -3 \\ x \geq -1 \end{gathered} \right.\)

Таким образом, \(x \in (-4; -3] \cup [-1; +\infty)\).
Сопоставим полученные интервалы с областью допустимых значений:

Ответ: \((-4; -3] \cup [-1; +\infty)\)

Источник: ФИПИ