Решение:
\(\log _{49} (x + 4) + \log _{(x^{2} + 8 x + 16)} \sqrt{7} \leq - \frac{3}{4}\)

Для начала преобразуем второе слагаемое \(\log _{(x^{2} + 8 x + 16)} \sqrt{7}\), перейдя к новому основанию \(49\) по стандартной формуле \(\log _{a} b = \frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}\):
\(\log _{49} (x + 4) + \frac{\log _{49} \sqrt{7}}{\log _{49} (x^{2} + 8 x + 16)} \leq - \frac{3}{4}\)

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
\(\left\{\begin{matrix} x + 4 > 0 \\ x^{2} + 8 x + 16 > 0 \\ x^{2} + 8 x + 16 \neq 1 \end{matrix}\right.\)

Заметим, что \(x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2\). Упростим логарифмические выражения, используя свойства степеней:
\(\log _{49} (x + 4) + \frac{\log _{7^{2}} (7^{\frac{1}{2}})}{\log _{49} ((x + 4)^{2})} \leq - \frac{3}{4}\)
\(\log _{49} (x + 4) + \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \log _{7} 7}{2 \log _{49} (|x + 4|)} \leq - \frac{3}{4}\)

Учитывая условия ОДЗ:
\(\left\{\begin{matrix} x > - 4 \\ (x + 4)^{2} > 0 \\ x^{2} + 8 x + 15 \neq 0 \end{matrix}\right.\)
Так как \(x > -4\), модуль \(|x+4|\) раскрывается со знаком плюс. Получаем:
\(\log _{49} (x + 4) + \frac{\frac{1}{4}}{2 \log _{49} (x + 4)} \leq - \frac{3}{4}\)
\(\log _{49} (x + 4) + \frac{1}{8 \log _{49} (x + 4)} \leq - \frac{3}{4}\)

Уточним ограничения для переменной \(x\):
\(\left\{\begin{matrix} x > - 4 \\ x \neq - 4 \\ x \neq - 5 \\ x \neq - 3 \end{matrix}\right.\)

Таким образом, область определения: \(x \in (- 4 ; - 3) \cup (- 3 ; + \infty) .\)

Введем вспомогательную переменную, пусть \(t = \log _{49} (x + 4)\). Неравенство примет вид:
\(t + \frac{1}{8 t} \leq - \frac{3}{4}\)
\(t + \frac{1}{8 t} + \frac{3}{4} \leq 0\)
\(\frac{8 t^{2} + 6 t + 1}{8 t} \leq 0 .\)

Найдем критические точки числителя и знаменателя:
\(8 t^{2} + 6 t + 1 = 0 \implies t_{1} = - \frac{1}{2} ; t_{2} = - \frac{1}{4}\)
\(8 t = 0 \implies t = 0\)
Решим неравенство методом интервалов:

Получаем интервалы для \(t\): \(t \in ( - \infty ; - \frac{1}{2} ] \cup [ - \frac{1}{4} ; 0 ) .\)

Перейдем обратно к переменной \(x\), составив совокупность систем:
\(\left[\begin{matrix} t \leq - \frac{1}{2} \\ \left\{\begin{matrix} t \geq - \frac{1}{4} \\ t < 0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\) \(\implies\) \(\left[\begin{matrix} \log _{49} (x + 4) \leq - \frac{1}{2} \\ \left\{\begin{matrix} \log _{49} (x + 4) \geq - \frac{1}{4} \\ \log _{49} (x + 4) < 0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\)

1) Решим первое неравенство с учетом ОДЗ (\(x > -4\)):
\(\log _{49} (x + 4) \leq - \frac{1}{2}\)
\(x + 4 \leq 49^{- \frac{1}{2}} \implies x + 4 \leq \frac{1}{7}\)
\(x \leq - \frac{27}{7}\)
Следовательно, \(x \in ( - 4 ; - \frac{27}{7} ] .\)

2) Решим систему неравенств:
Для \(\log _{49} (x + 4) \geq - \frac{1}{4}\):
\(x + 4 \geq 49^{- \frac{1}{4}} \implies x + 4 \geq (7^2)^{-\frac{1}{4}} \implies x + 4 \geq \frac{1}{\sqrt{7}}\)
\(x \geq \frac{\sqrt{7}}{7} - 4\).
Для \(\log _{49} (x + 4) < 0\):
\(x + 4 < 1 \implies x < - 3\).
С учетом \(x > -4\), получаем интервал: \(x \in [ \frac{\sqrt{7}}{7} - 4 ; - 3 )\).

Проверим положение границ:
\(\frac{\sqrt{7}}{7} - 4 > - 4\) (так как \(\frac{\sqrt{7}}{7} > 0\));
\(\frac{\sqrt{7}}{7} - 4 < - 3\) (так как \(\frac{\sqrt{7}}{7} < 1\)).

Объединяя результаты и накладывая ограничения ОДЗ:

Ответ: \(( - 4 ; - \frac{27}{7} ] \cup [ \frac{\sqrt{7}}{7} - 4 ; - 3 )\)

Источник: ФИПИ