Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \[\log _{5} \left(3 x + 1\right) + \log _{5} \left(\frac{1}{72 x^{2}} + 1\right) \geq \log _{5} \left(\frac{1}{24 x} + 1\right)\] Используя свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием, преобразуем левую часть: \[\log _{5} \left(\left(3 x + 1\right) \left(\frac{1}{72 x^{2}} + 1\right)\right) \geq \log _{5} \left(\frac{1}{24 x} + 1\right)\] Так как основание логарифма \(5 > 1\), логарифмическая функция возрастает, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ):
Ограничения:
\[\begin{cases} 3 x + 1 > 0 \\ \frac{1}{72 x^{2}} + 1 > 0 \\ \frac{1}{24 x} + 1 > 0 \end{cases}\] Переходим к сравнению аргументов: \[\left(3 x + 1\right) \left(\frac{1}{72 x^{2}} + 1\right) \geq \frac{1}{24 x} + 1\] Раскроем скобки в левой части выражения: \[\frac{3 x}{72 x^{2}} + 3 x + \frac{1}{72 x^{2}} + 1 \geq \frac{1}{24 x} + 1\] После сокращения дроби \(\frac{3x}{72x^2} = \frac{1}{24x}\) получаем: \[\frac{1}{24 x} + 3 x + \frac{1}{72 x^{2}} + 1 \geq \frac{1}{24 x} + 1\] Вычтем из обеих частей одинаковые слагаемые \(\frac{1}{24x}\) и \(1\): \[3 x + \frac{1}{72 x^{2}} \geq 0\] Вернемся к системе ограничений. Решая её, находим область определения: \[\begin{cases} x > - \frac{1}{3} \\ x \neq 0 \\ x \in (-\infty; - \frac{1}{24}) \cup (0; +\infty) \end{cases}\] Приведем к общему знаменателю в основном неравенстве: \[\frac{216 x^{3} + 1}{72 x^{2}} \geq 0\] Результат пересечения условий ОДЗ представлен ниже:

Следовательно, допустимые значения переменной: \(x \in \left(- \frac{1}{3} ; - \frac{1}{24}\right) \cup \left(0 ; + \infty\right)\).
Для решения рационального неравенства найдем критические точки (корни числителя и знаменателя):
Числитель: \(216 x^{3} + 1 = 0 \Rightarrow x^3 = -\frac{1}{216} \Rightarrow x = - \frac{1}{6}\).
Знаменатель: \(72 x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0\).
Определим знаки выражения на интервалах:

Решением данного неравенства является множество: \(x \in [ - \frac{1}{6} ; 0 ) \cup \left(0 ; + \infty\right)\).
Теперь найдем пересечение полученного решения с областью ограничений:

Ответ: \([ - \frac{1}{6} ; - \frac{1}{24} ) \cup ( 0 ; + \infty )\)

Источник: ФИПИ