Решение:
Исходное неравенство: \(x^{2} \log _{243} \left(4 - x\right) \leq \log _{3} \left(x^{2} - 8 x + 16\right)\).
Преобразуем правую часть, заметив полный квадрат, а в левой части представим основание логарифма как степень тройки:
\(x^{2} \log _{3^{5}} \left(4 - x\right) \leq \log _{3} \left(x - 4\right)^{2}\)
Используя свойства логарифма, вынесем показатели степеней за знак логарифма. Учитывая четную степень, в правой части возникнет модуль:
\(x^{2} \cdot \frac{1}{5} \log _{3} \left(4 - x\right) \leq 2 \log _{3} |x - 4|\)
Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной \(x\):
\[\begin{cases} 4 - x > 0 \\ x^2 - 8x + 16 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 4 \\ (x - 4)^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow x < 4.\] Так как по условию \(x < 4\), то выражение под модулем \(x - 4\) отрицательно, следовательно, \(|x - 4| = 4 - x\). Перепишем неравенство:
\(\frac{x^{2}}{5} \log _{3} \left(4 - x\right) \leq 2 \log _{3} \left(4 - x\right)\)
Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
\(\log _{3} \left(4 - x\right) \left(\frac{x^{2}}{5} - 2\right) \leq 0\)
Для удобства умножим вторую скобку на положительное число 5 и разложим разность квадратов:
\(\log _{3} \left(4 - x\right) (x^2 - 10) \leq 0\)
\(\log _{3} \left(4 - x\right) (x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \leq 0\)
Применим метод рационализации для логарифмического множителя (так как основание \(3 > 1\), знак разности \(\log_3(4-x) - \log_3 1\) совпадает со знаком \((4-x-1)\)):
\((3 - 1)(4 - x - 1)(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \leq 0\)
\(2(3 - x)(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \leq 0\)
Разделим на 2 и решим полученное неравенство методом интервалов:
\((3 - x)(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \leq 0\)

Получаем промежутки: \(x \in [-\sqrt{10}; 3] \cup [\sqrt{10}; +\infty)\).
Теперь учтем найденное ранее ограничение \(x < 4\):

Итоговым решением будет объединение интервалов, удовлетворяющих всем условиям.

Ответ: \([-\sqrt{10}; 3] \cup [\sqrt{10}; 4)\)

Источник: ФИПИ