Решение:
Исходное неравенство: \(\frac{\log _{2} x^{2} - \log _{3} x^{2}}{\log _{6}^{2} ( 2 x^{2} - 10 x + 12{,}5 ) + 1} \geq 0\)
Преобразуем числитель, используя свойства степени логарифма, и представим десятичную дробь в знаменателе в виде обыкновенной:
\(\frac{2 \log _{2} |x| - 2 \log _{3} |x|}{\log _{6}^{2} ( 2 x^{2} - 10 x + \frac{25}{2} ) + 1} \geq 0\)
Вынесем общий множитель в числителе:
\(\frac{2 ( \log _{2} |x| - \log _{3} |x| )}{\log _{6}^{2} ( 2 x^{2} - 10 x + \frac{25}{2} ) + 1} \geq 0\)
Определим область допустимых значений (ОДЗ):
\(\begin{cases} x^{2} > 0 \\ 2 x^{2} - 10 x + 12{,}5 > 0 \end{cases}\)
Также учтем, что знаменатель не может быть равен нулю: \(\log _{6}^{2} ( 2 x^{2} - 10 x + 12{,}5 ) + 1 \neq 0\).
Второе неравенство системы можно переписать как \(2(x^2 - 5x + 6{,}25) > 0\), что эквивалентно \(2(x - 2{,}5)^2 > 0\). Это верно при всех \(x \neq 2{,}5\).
Таким образом, ограничения для переменной: \(x \in \mathbb{R}\), при этом \(x \neq 0\) и \(x \neq \frac{5}{2}\).
Проанализируем знаменатель дроби: выражение \(\log _{6}^{2} ( \dots )\) всегда неотрицательно, а при добавлении единицы оно становится строго положительным при любых допустимых значениях \(x\). Следовательно, знак всей дроби зависит только от числителя:
\(2 (\log _{2} |x| - \log _{3} |x|) \geq 0\)
Разделим на 2 и приведем логарифмы к одному основанию:
\(\log _{2} |x| - \frac{\log _{2} |x|}{\log _{2} 3} \geq 0\)
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{\log _{2} 3 \cdot \log _{2} |x| - \log _{2} |x|}{\log _{2} 3} \geq 0\)
Вынесем \(\log _{2} |x|\) за скобки:
\(\frac{\log _{2} |x| (\log _{2} 3 - 1)}{\log _{2} 3} \geq 0\)
Так как \(\log _{2} 3 > 1\), то множитель \((\log _{2} 3 - 1)\) положителен. Знаменатель \(\log _{2} 3\) также больше нуля. Значит:
\(\log _{2} |x| \geq 0\)
Отсюда следует: \(|x| \geq 1\).
Раскроем модуль:
1) Если \(x > 0\), то \(x \geq 1\).
2) Если \(x < 0\), то \(-x \geq 1\), что дает \(x \leq -1\).
Получаем объединение промежутков: \(x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\).
Теперь сопоставим полученный результат с найденными ранее ограничениями (\(x \neq 2{,}5\)):

Ответ: \(( - \infty ; - 1 ] \cup [ 1 ; \frac{5}{2} ) \cup ( \frac{5}{2} ; + \infty )\)

Источник: ФИПИ