Решение:
Дано неравенство: \(\log _{2}^{2} ( 25 - x^{2} ) - 7 \log _{2} ( 25 - x^{2} ) + 12 \geq 0\).
Для упрощения введем новую переменную, пусть \(t = \log _{2} (25 - x^{2})\).
Тогда исходное выражение примет вид квадратного неравенства:
\(t^{2} - 7t + 12 \geq 0\).
Найдем корни соответствующего уравнения \(t^{2} - 7t + 12 = 0\). По теореме Виета:
\(t_{1} + t_{2} = 7\),
\(t_{1} \cdot t_{2} = 12\).
Откуда получаем значения \(t_{1} = 3\) и \(t_{2} = 4\).

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма:
\(25 - x^{2} > 0 \Rightarrow (5 - x)(5 + x) > 0\).
Следовательно, \(x \in (-5; 5)\).
Вернемся к основной переменной, учитывая решение для \(t\):
\(\left[\begin{matrix} t \leq 3 \\ t \geq 4 \end{matrix}\right.\)
Подставим логарифмическое выражение обратно:
\(\left[\begin{matrix} \log _{2} (25 - x^{2}) \leq 3 \\ \log _{2} (25 - x^{2}) \geq 4 \end{matrix}\right.\)
Так как основание логарифма \(2 > 1\), переходим к потенцированию с сохранением знака:
\(\left[\begin{matrix} 25 - x^{2} \leq 2^3 \\ 25 - x^{2} \geq 2^4 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} 25 - x^{2} \leq 8 \\ 25 - x^{2} \geq 16 \end{matrix}\right.\)
Преобразуем неравенства относительно \(x^2\):
\(\left[\begin{matrix} x^{2} \geq 17 \\ x^{2} \leq 9 \end{matrix}\right.\)

Решением данной совокупности являются промежутки:
\(\left[\begin{matrix} x \in (-\infty; -\sqrt{17}] \cup [\sqrt{17}; +\infty) \\ x \in [-3; 3] \end{matrix}\right.\)
Теперь найдем пересечение полученных интервалов с условием ОДЗ \(x \in (-5; 5)\):

Ответ: \((-5; -\sqrt{17}] \cup [-3; 3] \cup [\sqrt{17}; 5)\)

Источник: ФИПИ