Ход решения:
Рассмотрим исходное логарифмическое неравенство: \[\log _{2} ( 4 x^{2} - 1 ) - \log _{2} x \leq \log _{2} \left(5 x + \frac{9}{x} - 11\right)\] Используя свойства логарифмов (разность логарифмов заменим логарифмом частного), перейдем к сравнению аргументов, учитывая, что основание \(2 > 1\): \[\frac{4 x^{2} - 1}{x} \leq 5 x + \frac{9}{x} - 11\] Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю: \[\frac{4 x^{2} - 1}{x} - \frac{5 x^{2} - 11 x + 9}{x} \leq 0\] Умножим обе части на \(-1\), меняя знак неравенства для удобства вычислений: \[\frac{5 x^{2} - 11 x + 9 - (4 x^{2} - 1)}{x} \geq 0\] Упростим числитель, приведя подобные слагаемые: \[\frac{x^{2} - 11 x + 10}{x} \geq 0\] Разложим квадратный трехчлен в числителе на множители, найдя его корни (\(1\) и \(10\)): \[\frac{(x - 10)(x - 1)}{x} \geq 0\]
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: \[\begin{cases} 4 x^{2} - 1 > 0 \\ x > 0 \\ 5 x + \frac{9}{x} - 11 > 0 \end{cases}\] Решим систему условий: Из первого условия получаем \(x^2 > \frac{1}{4}\), что дает \(x \in (-\infty; -0,5) \cup (0,5; +\infty)\). С учетом условия \(x > 0\), получаем промежуток \(x > \frac{1}{2}\). Третье условие при \(x > \frac{1}{2}\) выполняется для всех допустимых значений переменной. Итоговое ограничение: \(x > \frac{1}{2}\).

Решением рационального неравенства методом интервалов является множество: \(x \in ( 0 ; 1 ] \cup [ 10 ; + \infty )\)
Теперь найдем пересечение полученного решения с установленным ограничением \(x > \frac{1}{2}\):

Ответ: \(( \frac{1}{2} ; 1 ] \cup [ 10 ; + \infty )\)

Источник: ФИПИ