Разбор решения:
Исходное неравенство: \(\frac{8^{x + 1} - 40}{2 \cdot 64^{x} - 32} \leq 1\).
Преобразуем степени к основанию 8: \(\frac{8 \cdot 8^{x} - 40}{2 \cdot (8^{x})^{2} - 32} \leq 1\).
Для упрощения введем новую переменную, обозначив \(8^{x}\) через \(t\), где \(t > 0\).
Получаем рациональное неравенство: \(\frac{8t - 40}{2t^2 - 32} \leq 1\).
Сократим дробь в левой части на 2: \(\frac{4t - 20}{t^2 - 16} \leq 1\).
Перенесем единицу влево и приведем к общему знаменателю:
\(\frac{4t - 20 - (t^2 - 16)}{t^2 - 16} \leq 0\);
\(\frac{-t^2 + 4t - 4}{t^2 - 16} \leq 0\).
В числителе вынесем минус и заметим формулу квадрата разности, а знаменатель разложим по разности квадратов:
\(\frac{-(t - 2)^2}{(t - 4)(t + 4)} \leq 0\).
Умножим на \(-1\), меняя знак неравенства:
\(\frac{(t - 2)^2}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0\).
Решим полученное неравенство методом интервалов:

С учетом того, что \(t = 8^x > 0\), получаем совокупность условий для \(t\):
\(\left[\begin{matrix} t < -4 \\ t = 2 \\ t > 4 \end{matrix}\right.\)
Перейдем обратно к переменной \(x\):
1) \(8^x < -4\) — решений нет, так как показательная функция всегда положительна.
2) \(8^x = 2 \Rightarrow 2^{3x} = 2^1 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\).
3) \(8^x > 4 \Rightarrow 2^{3x} > 2^2 \Rightarrow 3x > 2 \Rightarrow x > \frac{2}{3}\).
Объединяя результаты, получаем итоговое множество решений.

Ответ: \(\left\{\frac{1}{3}\right\} \cup \left(\frac{2}{3}; +\infty\right)\)

Источник: ФИПИ