Разбор решения:
Исходное неравенство: \[\frac{\log _{8} x}{\log _{8} \left(\frac{x}{64}\right)} \geq \frac{2}{\log _{8} x} + \frac{3}{\log _{8}^{2} x - \log _{8} x^{2}}\] Преобразуем знаменатели, используя свойства логарифма: \[\frac{\log _{8} x}{\log _{8} x - \log _{8} 64} \geq \frac{2}{\log _{8} x} + \frac{3}{\log _{8}^{2} x - 2 \log _{8} |x|}\] Учитывая область определения логарифмической функции, запишем условие: \(x > 0\).
Для упрощения введем новую переменную, пусть \(t = \log _{8} x\). Тогда неравенство примет вид: \[\frac{t}{t - 2} \geq \frac{2}{t} + \frac{3}{t^{2} - 2 t}\] Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю \(t(t - 2)\): \[\frac{t}{t - 2} - \frac{2}{t} - \frac{3}{t(t - 2)} \geq 0\] \[\frac{t^2 - 2(t - 2) - 3}{t(t - 2)} \geq 0\] Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: \[\frac{t^2 - 2t + 4 - 3}{t(t - 2)} \geq 0\] \[\frac{t^2 - 2t + 1}{t(t - 2)} \geq 0\] Заметим в числителе формулу квадрата разности: \[\frac{(t - 1)^2}{t(t - 2)} \geq 0\] Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Из чертежа видно, что решениями для \(t\) являются промежутки: \[\left[\begin{matrix} t < 0 \\ t = 1 \\ t > 2 \end{matrix}\right.\] Выполним обратный переход к переменной \(x\): \[\left[\begin{matrix} \log _{8} x < 0 \\ \log _{8} x = 1 \\ \log _{8} x > 2 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} 0 < x < 1 \\ x = 8 \\ x > 64 \end{matrix}\right.\] С учетом ОДЗ (\(x > 0\)) получаем итоговое множество решений:

Ответ: \((0; 1) \cup \{8\} \cup (64; +\infty)\)

Источник: ФИПИ