Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \(x^{2} \log _{512} ( 4 - x ) \geq \log _{2} ( x^{2} - 8 x + 16 )\).
Преобразуем обе части, используя свойства логарифмов и формулу квадрата разности:
\(x^{2} \log _{2^{9}} (4 - x) \geq \log _{2} (x - 4)^{2}\)
Вынесем показатели степеней из оснований и аргументов:
\(x^{2} \cdot \frac{1}{9} \log _{2} (4 - x) \geq 2 \log _{2} |x - 4|\)
Учитывая область определения, выражение под модулем \(|x-4|\) заменим на \((4-x)\), так как аргумент первого логарифма требует \(4-x > 0\). Перенесем всё в левую часть и вынесем общий множитель:
\(\frac{x^{2}}{9} \log _{2} (4 - x) - 2 \log _{2} (4 - x) \geq 0\)
\(\log _{2} (4 - x) \left(\frac{x^{2}}{9} - 2\right) \geq 0\)

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
\(\begin{cases} 4 - x > 0 \\ (x - 4)^{2} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 4 \\ x \neq 4 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; 4)\).

Для решения полученного неравенства воспользуемся методом рационализации:
\((2 - 1) \cdot (4 - x - 1) \cdot \left(\frac{x^{2}}{9} - 2\right) \geq 0\)
Упростим выражение, умножив на положительное число 9:
\((3 - x)(x^{2} - 18) \geq 0\)
Разложим на множители и определим знаки на числовой прямой:

Получаем промежутки: \(x \in (-\infty; -\sqrt{18}] \cup [3; \sqrt{18}]\).
Теперь сопоставим найденные решения с условием \(x < 4\). Заметим, что \(\sqrt{18} \approx 4,24\), поэтому правый интервал будет ограничен числом 4:

Ответ: \((-\infty; -3\sqrt{2}] \cup [3; 4)\)

Источник: ФИПИ