Ход решения:
Для начала преобразуем исходное неравенство: \[\frac{2 \log _{3} ( 9 x ) - 13}{\log _{3}^{2} x - \log _{3} x^{4}} \leq 1\] Воспользуемся свойствами логарифма в числителе и знаменателе: \[\frac{\log _{3} ( 9 x )^{2} - 13}{\log _{3}^{2} x - 4 \log _{3} x} \leq 1\] Разложим логарифм произведения в числителе: \[\frac{\log _{3} 81 + \log _{3} x^{2} - 13}{\log _{3}^{2} x - 4 \log _{3} x} \leq 1\] Так как \(\log_{3} 81 = 4\), получаем: \[\frac{4 + 2\log _{3} x - 13}{\log _{3}^{2} x - 4 \log _{3} x} \leq 1\] Упростим выражение: \[\frac{2 \log _{3} x - 9}{\log _{3}^{2} x - 4 \log _{3} x} \leq 1\] Введем новую переменную, пусть \(\log _{3} x = t\). Тогда неравенство примет вид: \[\frac{2 t - 9}{t^{2} - 4 t} \leq 1\] Перенесем единицу в левую часть и приведем к общему знаменателю: \[\frac{2 t - 9}{t^{2} - 4 t} - 1 \leq 0 \implies \frac{2 t - 9 - (t^{2} - 4 t)}{t (t - 4)} \leq 0\] \[\frac{-t^{2} + 6t - 9}{t (t - 4)} \leq 0\] Заметим в числителе полный квадрат: \[\frac{-(t - 3)^{2}}{t (t - 4)} \leq 0\] Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Решением для \(t\) будут промежутки: \(t \in (-\infty; 0) \cup \{3\} \cup (4; +\infty)\).
Выполним обратный переход к переменной \(x\): \[\left[\begin{aligned} & \log_{3} x < 0 \\ & \log_{3} x = 3 \\ & \log_{3} x > 4 \end{aligned}\right. \implies \left[\begin{aligned} & x < 1 \\ & x = 27 \\ & x > 81 \end{aligned}\right.\]

Учитывая область допустимых значений логарифма (\(x > 0\)), найдем пересечение полученных решений с ОДЗ:

Ответ: \((0; 1) \cup \{27\} \cup (81; +\infty)\)

Источник: ФИПИ