Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \(\log _{3}^{2} ( x^{2} - 16 ) - 5 \log _{3} ( x^{2} - 16 ) + 6 \geq 0\).
Для начала определим область допустимых значений переменной. Выражение под логарифмом должно быть строго положительным:
\(x^{2} - 16 > 0\)
Разложим на множители: \((x - 4)(x + 4) > 0\).

Таким образом, \(x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)\).
Введем новую переменную, пусть \(\log_{3}(x^2 - 16) = t\). Тогда неравенство примет вид квадратного:
\(t^2 - 5t + 6 \geq 0\)
Корнями соответствующего квадратного уравнения являются \(t_1 = 2\) и \(t_2 = 3\).

Решением относительно \(t\) будет совокупность промежутков:
\(\left[\begin{matrix} t \leq 2 \\ t \geq 3 \end{matrix}\right.\)
Выполним обратный переход к переменной \(x\):
1) Разберем первый случай: \(\log_{3}(x^2 - 16) \leq 2\).
Так как основание логарифма \(3 > 1\), получаем:
\(x^2 - 16 \leq 3^2\)
\(x^2 \leq 25\)

Откуда \(x \in [-5; 5]\).
2) Разберем второй случай: \(\log_{3}(x^2 - 16) \geq 3\).
\(x^2 - 16 \geq 3^3\)
\(x^2 \geq 43\)

Следовательно, \(x \in (-\infty; -\sqrt{43}] \cup [\sqrt{43}; +\infty)\).
Теперь необходимо найти пересечение полученных решений с ОДЗ, установленной в начале задачи.

Ответ: \((-\infty; -\sqrt{43}] \cup [-5; -4) \cup (4; 5] \cup [\sqrt{43}; +\infty)\)

Источник: ФИПИ